2016 AMC 12B Problema 17

Question

En el

\triangle ABC

que se muestra en la figura,

AB=7,

BC=8,

CA=9,

y

\overline{AH}

es una altura. Los puntos

D

y

E

están sobre los lados

\overline{AC}

y

\overline{AB},

respectivamente, de modo que

\overline{BD}

y

\overline{CE}

son bisectrices, que cortan a

\overline{AH}

en

Q

y

P,

respectivamente. ¿Cuánto vale

PQ

?

In

\triangle ABC

shown in the figure,

AB=7,

BC=8,

CA=9,

and

\overline{AH}

is an altitude. Points

D

and

E

lie on sides

\overline{AC}

and

\overline{AB},

respectively, so that

\overline{BD}

and

\overline{CE}

are angle bisectors, intersecting

\overline{AH}

at

Q

and

P,

respectively. What is

PQ?

1

\dfrac58\sqrt3

\dfrac45\sqrt2

\dfrac{8}{15}\sqrt5

\dfrac65

Respuesta: D

Conceptos:teorema de la bisectriz altura Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Sea

BH=x.

Entonces

AH^2=7^2-x^2=9^2-(8-x)^2,

lo que da

x=2

y

AH=\sqrt{45}

.

Let

BH=x.

Then

AH^2=7^2-x^2=9^2-(8-x)^2,

which gives

x=2

and

AH=\sqrt{45}

Pista grande:

Por el teorema de la bisectriz,

\dfrac{AP}{PH}=\dfrac{CA}{CH}=\dfrac96

y

\dfrac{AQ}{QH}=\dfrac{BA}{BH}=\dfrac72;

entonces

PQ=AQ-AP

.

By the angle bisector theorem,

\dfrac{AP}{PH}=\dfrac{CA}{CH}=\dfrac96

and

\dfrac{AQ}{QH}=\dfrac{BA}{BH}=\dfrac72;

then

PQ=AQ-AP

Solución:

Sea

x=BH.

Entonces

CH=8-x,

y a partir de los dos triángulos rectángulos

AH^2=7^2-x^2=9^2-(8-x)^2.

Esto da

x=2

y

AH=\sqrt{45}.

Por el teorema de la bisectriz en

\triangle ACH,

\dfrac{AP}{PH}=\dfrac{CA}{CH}=\dfrac96,

así que

AP=\dfrac35 AH.

De manera similar, en

\triangle ABH,

\dfrac{AQ}{QH}=\dfrac{BA}{BH}=\dfrac72,

así que

AQ=\dfrac79 AH.

Entonces

\begin{aligned} PQ &= AQ-AP \\ &= \left(\dfrac79-\dfrac35\right)AH \\ &= \dfrac{8}{45}\sqrt{45} \\ &= \dfrac{8}{15}\sqrt5. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let

x=BH.

Then

CH=8-x,

and from the two right triangles

AH^2=7^2-x^2=9^2-(8-x)^2.

This gives

x=2

and

AH=\sqrt{45}.

By the angle bisector theorem in

\triangle ACH,

\dfrac{AP}{PH}=\dfrac{CA}{CH}=\dfrac96,

so

AP=\dfrac35 AH.

Similarly in

\triangle ABH,

\dfrac{AQ}{QH}=\dfrac{BA}{BH}=\dfrac72,

so

AQ=\dfrac79 AH.

Then

\begin{aligned} PQ &= AQ-AP \\ &= \left(\dfrac79-\dfrac35\right)AH \\ &= \dfrac{8}{45}\sqrt{45} \\ &= \dfrac{8}{15}\sqrt5. \end{aligned}

Thus, the correct answer is D.

2016 AMC 12B Problema 17

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 17 en otros años