2013 AMC 12A Problema 17

Question

Un grupo de

12

piratas acuerda repartirse un cofre del tesoro lleno de monedas de oro de la siguiente manera. El

k

-ésimo pirata en tomar su parte se lleva

\dfrac{k}{12}

de las monedas que quedan en el cofre. El número de monedas que hay inicialmente en el cofre es el menor número para el cual este arreglo permite que cada pirata reciba un número entero positivo de monedas. ¿Cuántas monedas recibe el

12

-ésimo pirata?

A group of

12

pirates agree to divide a treasure chest of gold coins among themselves as follows. The

k

th pirate to take a share takes

\dfrac{k}{12}

of the coins that remain in the chest. The number of coins initially in the chest is the smallest number for which this arrangement will allow each pirate to receive a positive whole number of coins. How many coins does the

12

th pirate receive?

720

1296

1728

1925

3850

Respuesta: D

Conceptos:divisibilidad factorización en primos factorial

Nivel de dificultad: 2050

Pista pequeña:

Antes de que el

k

-ésimo pirata tome su parte, el cofre contiene

\dfrac{12}{12 - k}

veces lo que queda después

Before the

k

th pirate takes a share, the chest holds

\dfrac{12}{12 - k}

times what remains after

Pista grande:

Si quedan

n

monedas para el último pirata, el conteo inicial es

\dfrac{12^{11}n}{11!};

hazlo entero con el menor

n

If

n

coins remain for the last pirate, the initial count is

\dfrac{12^{11}n}{11!};

make it an integer with smallest

n

Solución:

Para

1 \le k \le 11,

el número de monedas antes de que el

k

-ésimo pirata tome su parte es

\dfrac{12}{12 - k}

veces el número posterior. Por tanto, si quedan

n

monedas para el

12

-ésimo pirata, el número inicial es

\dfrac{12^{11}\, n}{11!} = \dfrac{2^{14}\cdot 3^{7}\, n}{5^2\cdot 7\cdot 11}.

El menor

n

que hace que esta cantidad sea un entero positivo es

5^2\cdot7\cdot11=1925.

Antes del pirata

k,

el número restante es el número inicial multiplicado por

\frac{11!}{(12-k)!\,12^{k-1}};

al sustituir este valor de

n

, se comprueba que es entero para todo

k.

Por lo tanto, todas las partes son enteras y el

12

-ésimo pirata recibe

1925

monedas.

Así, la respuesta correcta es D.

For

1 \le k \le 11,

the number of coins before the

k

th pirate takes a share is

\dfrac{12}{12 - k}

times the number afterward. So if

n

coins are left for the

12

th pirate, the initial count is

\dfrac{12^{11}\, n}{11!} = \dfrac{2^{14}\cdot 3^{7}\, n}{5^2\cdot 7\cdot 11}.

The smallest

n

making this a positive integer is

5^2\cdot7\cdot11=1925.

Before pirate

k,

the remaining count is the initial count multiplied by

\frac{11!}{(12-k)!\,12^{k-1}};

substituting this

n

shows it is an integer for every

k.

Hence all shares are integral, and the

12

th pirate receives

1925

coins.

Thus, the correct answer is D.