2009 AMC 12B Problema 22

Question

El paralelogramo

ABCD

tiene área

1{,}000{,}000.

El vértice

A

está en

(0, 0)

y todos los demás vértices están en el primer cuadrante. Los vértices

B

y

D

son puntos de red sobre las rectas

y = x

y

y = kx

para algún entero

k \gt 1,

respectivamente. ¿Cuántos paralelogramos de este tipo hay?

Parallelogram

ABCD

has area

1{,}000{,}000.

Vertex

A

is at

(0, 0)

and all other vertices are in the first quadrant. Vertices

B

and

D

are lattice points on the lines

y = x

and

y = kx

for some integer

k \gt 1,

respectively. How many such parallelograms are there?

49

720

784

2009

2048

Respuesta: C

Conceptos:punto reticular estrellas y barras factorización en primos

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Con

B = (b, b)

y

D = (d, kd),

el área del paralelogramo es

(k - 1)bd

.

With

B = (b, b)

and

D = (d, kd),

the area of the parallelogram is

(k - 1)bd

Pista grande:

Necesitas

(k - 1)bd = 10^6 = 2^6 \cdot 5^6

; cuenta las factorizaciones ordenadas en tres enteros positivos.

You need

(k - 1)bd = 10^6 = 2^6 \cdot 5^6

; count ordered factorizations into three positive integers

Solución:

Sea

B = (b, b)

y

D = (d, kd)

con

b, d, k

enteros positivos y

k \gt 1.

El área es

(k - 1)bd = 1{,}000{,}000 = 2^6 \cdot 5^6.

Cada paralelogramo corresponde a una terna ordenada

(k - 1, b, d)

de enteros positivos con producto

2^6 \cdot 5^6.

Los seis

2

se reparten entre los tres factores de

\binom{6 + 2}{2} = 28

maneras, y del mismo modo los seis

5

de

28

maneras, lo que da

28^2 = 784.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let

B = (b, b)

and

D = (d, kd)

with

b, d, k

positive integers and

k \gt 1.

The area is

(k - 1)bd = 1{,}000{,}000 = 2^6 \cdot 5^6.

Each parallelogram corresponds to an ordered triple

(k - 1, b, d)

of positive integers with product

2^6 \cdot 5^6.

The six

2

’s distribute among the three factors in

\binom{6 + 2}{2} = 28

ways, and likewise the six

5

’s in

28

ways, giving

28^2 = 784.

Thus, the correct answer is C.