2008 AMC 12B Problema 17

Intenta el Problema 17 del 2008 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2008 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

17.

Sean

A,

B

y

C

tres puntos distintos en la gráfica de

y = x^2

tales que la recta

AB

es paralela al eje

x

y

\triangle ABC

es un triángulo rectángulo de área

2008.

¿Cuál es la suma de los dígitos de la coordenada

y

de

C

?

Let

A,

B

and

C

be three distinct points on the graph of

y = x^2

such that line

AB

is parallel to the

x

-axis and

\triangle ABC

is a right triangle with area

2008.

What is the sum of the digits of the

y

-coordinate of

C?

16

17

18

19

20

Respuesta: C

Conceptos:parábola pendiente área del triángulo dígitos

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Escribe

A = (a, a^2)

y

B = (-a, a^2);

como

A, B, C

tienen coordenadas

x

distintas, el ángulo recto está en

C

.

Write

A = (a, a^2)

and

B = (-a, a^2);

since

A, B, C

have distinct

x

-coordinates, the right angle is at

C

Pista grande:

Los catetos perpendiculares

CA

y

CB

obligan a

a^2 - c^2 = 1,

la altura sobre

\overline{AB};

obtén

|a|

del área, luego

c^2

.

Perpendicular legs

CA

and

CB

force

a^2 - c^2 = 1,

the height above

\overline{AB};

get

|a|

from the area, then

c^2

Solución:

Como

AB

es horizontal, tomemos

A = (a, a^2)

y

B = (-a, a^2),

y sea

C = (c, c^2).

El ángulo recto no puede estar en

A

ni en

B

(eso exigiría

c = \pm a

), así que está en

C.

Sea

d = a^2-c^2.

El producto punto de

\overrightarrow{CA}

y

\overrightarrow{CB}

da

d(d-1)=0.

Los puntos son distintos, así que

d \ne 0;

por tanto,

a^2-c^2=1.

Este valor es la altura del triángulo sobre

\overline{AB}.

El área es

\tfrac12 \cdot AB \cdot \text{altura}

= \tfrac12 (2|a|)(1)

= |a| = 2008,

así que

a^2 = 2008^2 = 4{,}032{,}064

y la coordenada

y

de

C

es

c^2 = a^2 - 1 = 4{,}032{,}063.

Su suma de dígitos es

4 + 0 + 3 + 2 + 0 + 6 + 3 = 18.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since

AB

is horizontal, take

A = (a, a^2)

and

B = (-a, a^2),

and let

C = (c, c^2).

The right angle cannot be at

A

or

B

(that would need

c = \pm a

), so it is at

C.

Put

d = a^2-c^2.

Taking the dot product of

\overrightarrow{CA}

and

\overrightarrow{CB}

gives

d(d-1)=0.

The points are distinct, so

d \ne 0;

hence

a^2-c^2=1.

This value is the height of the triangle above

\overline{AB}.

The area is

\tfrac12 \cdot AB \cdot \text{height}

= \tfrac12 (2|a|)(1)

= |a| = 2008,

so

a^2 = 2008^2 = 4{,}032{,}064

and the

y

-coordinate of

C

is

c^2 = a^2 - 1 = 4{,}032{,}063.

Its digit sum is

4 + 0 + 3 + 2 + 0 + 6 + 3 = 18.

Thus, the correct answer is C.

El Problema 17 en otros años