2006 AMC 12A Problema 19

Question

Las circunferencias con centros

(2, 4)

y

(14, 9)

tienen radios

4

y

9,

respectivamente. La ecuación de una tangente externa común a las circunferencias puede escribirse en la forma

y = mx + b

con

m \gt 0.

¿Cuánto vale

b

?

Circles with centers

(2, 4)

and

(14, 9)

have radii

4

and

9,

respectively. The equation of a common external tangent to the circles can be written in the form

y = mx + b

with

m \gt 0.

What is

b?

\dfrac{908}{119}

\dfrac{909}{119}

\dfrac{130}{17}

\dfrac{911}{119}

\dfrac{912}{119}

Respuesta: E

Conceptos:recta tangente identidad trigonométrica geometría analítica

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Cada circunferencia es tangente al eje

x

, así que el eje

x

es una tangente externa común.

Each circle is tangent to the

x

-axis, so the

x

-axis is one common external tangent

Pista grande:

Las dos tangentes externas se cortan en la recta que pasa por los centros, cuya pendiente es

\tfrac{5}{12} = \tan\theta;

la otra tangente tiene pendiente

\tan 2\theta

.

The two external tangents meet on the line through the centers, whose slope is

\tfrac{5}{12} = \tan\theta;

the other tangent has slope

\tan 2\theta

Solución:

El radio de cada circunferencia es igual a la coordenada

y

de su centro, así que ambas son tangentes al eje

x

, que es una tangente externa común. Las dos tangentes externas se cortan en la intersección con el eje

x

de la recta que pasa por los centros.

Esa recta tiene pendiente

\tfrac{9 - 4}{14 - 2} = \tfrac{5}{12} = \tan\theta

y pasa por

(2, 4),

cortando al eje

x

en

\left(-\tfrac{38}{5}, 0\right).

La otra tangente forma un ángulo

2\theta

con el eje

x

, así que su pendiente es

\tan 2\theta = \frac{2 \cdot \tfrac{5}{12}}{1 - \left(\tfrac{5}{12}\right)^2} = \frac{120}{119}.

Entonces

b = \tfrac{120}{119} \cdot \tfrac{38}{5} = \tfrac{912}{119}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Each circle’s radius equals its center’s

y

-coordinate, so both are tangent to the

x

-axis, which is a common external tangent. The two external tangents meet at the

x

-intercept of the line through the centers.

That line has slope

\tfrac{9 - 4}{14 - 2} = \tfrac{5}{12} = \tan\theta

and passes through

(2, 4),

meeting the

x

-axis at

\left(-\tfrac{38}{5}, 0\right).

The other tangent makes angle

2\theta

with the

x

-axis, so its slope is

\tan 2\theta = \frac{2 \cdot \tfrac{5}{12}}{1 - \left(\tfrac{5}{12}\right)^2} = \frac{120}{119}.

Then

b = \tfrac{120}{119} \cdot \tfrac{38}{5} = \tfrac{912}{119}.

Thus, the correct answer is E.