2005 AMC 12A Problema 24

Question

Sea

P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3).

¿Para cuántos polinomios

Q(x)

existe un polinomio

R(x)

de grado

3

tal que

P(Q(x)) = P(x) \cdot R(x)

?

Let

P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3).

For how many polynomials

Q(x)

does there exist a polynomial

R(x)

of degree

3

such that

P(Q(x)) = P(x) \cdot R(x)?

19

22

24

27

32

Respuesta: B

Conceptos:polinomio análisis por casos

Nivel de dificultad: 2520

Pista pequeña:

Compara los grados:

P(Q(x))

tiene grado

3\deg Q

y

P(x)R(x)

tiene grado

6,

así que

\deg Q = 2

.

Compare degrees:

P(Q(x))

has degree

3\deg Q

and

P(x)R(x)

has degree

6,

so

\deg Q = 2

Pista grande:

Para

x = 1, 2, 3,

el lado derecho es

0,

así que cada uno de

Q(1), Q(2), Q(3)

está en

\{1, 2, 3\};

descarta las ternas que dan grado menor que

2

.

For

x = 1, 2, 3,

the right side is

0,

so each of

Q(1), Q(2), Q(3)

lies in

\{1, 2, 3\};

discard the triples giving degree less than

2

Solución:

Como

P(x)R(x)

tiene grado

6

y

P(Q(x))

tiene grado

3\deg Q,

necesitamos

\deg Q = 2.

Un polinomio cuadrático

Q

queda determinado por la terna ordenada

(Q(1), Q(2), Q(3)).

En

x = 1, 2, 3

el lado derecho se anula, así que

P(Q(x)) = 0,

lo que obliga a que cada uno de

Q(1), Q(2), Q(3)

esté en

\{1, 2, 3\}.

Eso da

27

ternas.

Cinco de ellas dan un polinomio de grado menor que

2:

las constantes de

(1,1,1), (2,2,2), (3,3,3)

y las lineales

Q(x) = x

de

(1,2,3)

y

Q(x) = 4 - x

de

(3,2,1).

Las otras

27 - 5 = 22

ternas no son colineales y dan polinomios cuadráticos genuinos.

Así, la respuesta correcta es B.

Since

P(x)R(x)

has degree

6

and

P(Q(x))

has degree

3\deg Q,

we need

\deg Q = 2.

A quadratic

Q

is determined by the ordered triple

(Q(1), Q(2), Q(3)).

At

x = 1, 2, 3

the right side vanishes, so

P(Q(x)) = 0,

forcing each of

Q(1), Q(2), Q(3)

into

\{1, 2, 3\}.

That gives

27

triples.

Five of them give a polynomial of degree less than

2:

the constants from

(1,1,1), (2,2,2), (3,3,3)

and the linear

Q(x) = x

from

(1,2,3)

and

Q(x) = 4 - x

from

(3,2,1).

The other

27 - 5 = 22

triples are non-collinear and yield genuine quadratics.

Thus, the correct answer is B.

2005 AMC 12A Problema 24

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2520

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 24 en otros años