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2004 AMC 12B Problema 24

Intenta el Problema 24 del 2004 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2004 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

24.

En △ABC,\triangle ABC, AB=BC,AB = BC, y BD‾\overline{BD} es una altura. El punto EE está en la prolongación de AC‾\overline{AC} tal que BE=10.BE = 10. Los valores de tan⁡∠CBE,\tan \angle CBE, tan⁡∠DBE,\tan \angle DBE, y tan⁡∠ABE\tan \angle ABE forman una progresión geométrica, y los valores de cot⁡∠DBE,\cot \angle DBE, cot⁡∠CBE,\cot \angle CBE, cot⁡∠DBC\cot \angle DBC forman una progresión aritmética. ¿Cuál es el área de △ABC\triangle ABC?
In △ABC,\triangle ABC, AB=BC,AB = BC, and BD‾\overline{BD} is an altitude. Point EE is on the extension of AC‾\overline{AC} such that BE=10.BE = 10. The values of tan⁡∠CBE,\tan \angle CBE, tan⁡∠DBE,\tan \angle DBE, and tan⁡∠ABE\tan \angle ABE form a geometric progression, and the values of cot⁡∠DBE,\cot \angle DBE, cot⁡∠CBE,\cot \angle CBE, cot⁡∠DBC\cot \angle DBC form an arithmetic progression. What is the area of △ABC?\triangle ABC?
1616
503\dfrac{50}{3}
10310\sqrt{3}
858\sqrt{5}
1818
Respuesta: B
Conceptos:identidad trigonométricasucesión geométricatriángulo isósceles
Nivel de dificultad: 2390
Pista pequeña:
Sea ∠DBE=α\angle DBE = \alpha y ∠DBC=β;\angle DBC = \beta; entonces ∠CBE=α−β\angle CBE = \alpha - \beta y ∠ABE=α+β\angle ABE = \alpha + \beta.
Let ∠DBE=α\angle DBE = \alpha and ∠DBC=β;\angle DBC = \beta; then ∠CBE=α−β\angle CBE = \alpha - \beta and ∠ABE=α+β\angle ABE = \alpha + \beta
Pista grande:
La progresión geométrica da tan⁡(α−β)tan⁡(α+β)=tan⁡2α,\tan(\alpha - \beta)\tan(\alpha + \beta) = \tan^2\alpha, lo que fuerza α=45∘\alpha = 45^\circ.
The geometric progression gives tan⁡(α−β)tan⁡(α+β)=tan⁡2α,\tan(\alpha - \beta)\tan(\alpha + \beta) = \tan^2\alpha, which forces α=45∘\alpha = 45^\circ
Solución:
Sea ∠DBE=α\angle DBE = \alpha y ∠DBC=β.\angle DBC = \beta. Como BD‾\overline{BD} es la altura del triángulo isósceles, ∠CBE=α−β\angle CBE = \alpha - \beta y ∠ABE=α+β.\angle ABE = \alpha + \beta. La progresión geométrica da tan⁡(α−β)tan⁡(α+β)=tan⁡2α,\tan(\alpha - \beta)\tan(\alpha + \beta) = \tan^2\alpha, que se simplifica a tan⁡2β(tan⁡4α−1)=0,\tan^2\beta(\tan^4\alpha - 1) = 0, así que tan⁡α=1\tan\alpha = 1 y α=45∘.\alpha = 45^\circ.
Escribiendo DC=aDC = a y BD=b,BD = b, la progresión aritmética cot⁡∠DBE,\cot\angle DBE, cot⁡∠CBE,\cot\angle CBE, cot⁡∠DBC\cot\angle DBC se convierte en 1,b+ab−a,ba,1, \dfrac{b + a}{b - a}, \dfrac{b}{a}, lo que fuerza b=3a.b = 3a. Con BE=10BE = 10 y ∠DBE=45∘,\angle DBE = 45^\circ, obtenemos b=BE2=52,b = \dfrac{BE}{\sqrt2} = 5\sqrt2, así que a=523.a = \dfrac{5\sqrt2}{3}.
El área de △ABC\triangle ABC es 12(AC)(BD)=ab\tfrac12 (AC)(BD) = ab =52⋅523= 5\sqrt2 \cdot \dfrac{5\sqrt2}{3} =503.= \dfrac{50}{3}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Let ∠DBE=α\angle DBE = \alpha and ∠DBC=β.\angle DBC = \beta. Since BD‾\overline{BD} is the altitude of the isosceles triangle, ∠CBE=α−β\angle CBE = \alpha - \beta and ∠ABE=α+β.\angle ABE = \alpha + \beta. The geometric progression gives tan⁡(α−β)tan⁡(α+β)=tan⁡2α,\tan(\alpha - \beta)\tan(\alpha + \beta) = \tan^2\alpha, which simplifies to tan⁡2β(tan⁡4α−1)=0,\tan^2\beta(\tan^4\alpha - 1) = 0, so tan⁡α=1\tan\alpha = 1 and α=45∘.\alpha = 45^\circ.
Writing DC=aDC = a and BD=b,BD = b, the arithmetic progression cot⁡∠DBE,\cot\angle DBE, cot⁡∠CBE,\cot\angle CBE, cot⁡∠DBC\cot\angle DBC becomes 1,b+ab−a,ba,1, \dfrac{b + a}{b - a}, \dfrac{b}{a}, forcing b=3a.b = 3a. With BE=10BE = 10 and ∠DBE=45∘,\angle DBE = 45^\circ, we get b=BE2=52,b = \dfrac{BE}{\sqrt2} = 5\sqrt2, so a=523.a = \dfrac{5\sqrt2}{3}.
The area of △ABC\triangle ABC is 12(AC)(BD)=ab\tfrac12 (AC)(BD) = ab =52⋅523= 5\sqrt2 \cdot \dfrac{5\sqrt2}{3} =503.= \dfrac{50}{3}.
Thus, the correct answer is B.

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