2004 AMC 12B Problema 17

Question

Para ciertos números reales

a

y

b,

la ecuación

8x^3 + 4ax^2 + 2bx + a = 0

tiene tres raíces positivas distintas. Si la suma de los logaritmos en base

2

de las raíces es

5,

¿cuál es el valor de

a

?

For some real numbers

a

and

b,

the equation

8x^3 + 4ax^2 + 2bx + a = 0

has three distinct positive roots. If the sum of the base-

2

logarithms of the roots is

5,

what is the value of

a?

-256

-64

-8

64

256

Respuesta: A

Conceptos:Fórmulas de Vieta logaritmo

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

La suma de los

\log_2

de las raíces es igual al

\log_2

de su producto.

The sum of

\log_2

of the roots equals

\log_2

of their product

Pista grande:

Para

8x^3 + \cdots + a,

el producto de las raíces es

-\dfrac{a}{8}

.

For

8x^3 + \cdots + a,

the product of the roots is

-\dfrac{a}{8}

Solución:

La suma de los logaritmos en base

2

es

\log_2(r_1 r_2 r_3) = 5,

así que

r_1 r_2 r_3 = 2^5 = 32.

Por las fórmulas de Vieta en

8x^3 + 4ax^2 + 2bx + a,

el producto de las raíces es

-\dfrac{a}{8}.

Por lo tanto

-\dfrac{a}{8} = 32,

lo que da

a = -256.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The sum of the base-

2

logarithms is

\log_2(r_1 r_2 r_3) = 5,

so

r_1 r_2 r_3 = 2^5 = 32.

By Vieta’s formulas on

8x^3 + 4ax^2 + 2bx + a,

the product of the roots is

-\dfrac{a}{8}.

Thus

-\dfrac{a}{8} = 32,

giving

a = -256.

Thus, the correct answer is A.