1996 AMC 12 Problema 9

Question

El triángulo

PAB

y el cuadrado

ABCD

están en planos perpendiculares. Dado que

PA=3,

PB=4,

y

AB=5,

¿cuánto mide

PD

?

Triangle

PAB

and square

ABCD

are in perpendicular planes. Given that

PA=3,

PB=4,

and

AB=5,

what is

PD?

5

\sqrt{34}

\sqrt{41}

2\sqrt{13}

8

Respuesta: B

Conceptos:three-dimensional geometry Pythagorean theorem

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Primero identifica el ángulo recto en el triángulo

3

-

4

-

5

llamado

PAB

First identify the right angle in the

3

-

4

-

5

triangle

PAB

Pista grande:

Una recta de uno de los planos perpendicular a la intersección de los planos es perpendicular al otro plano

A line in one plane perpendicular to the planes’ intersection is perpendicular to the other plane

Solución:

Como

PA^2+PB^2

=3^2+4^2=5^2=AB^2,

el triángulo

PAB

es rectángulo en

P.

En el cuadrado

ABCD,

AD=5

y

AD\perp AB.

Como los dos planos son perpendiculares a lo largo de

AB,

AD

es perpendicular al plano de

PAB

y, por tanto, a

AP.

Así,

PD^2=PA^2+AD^2

=3^2+5^2=34.

La respuesta correcta es B.

Since

PA^2+PB^2

=3^2+4^2=5^2=AB^2,

triangle

PAB

is right at

P.

In square

ABCD,

AD=5

and

AD\perp AB.

Because the two planes are perpendicular along

AB,

AD

is perpendicular to the plane of

PAB,

and hence to

AP.

Thus

PD^2=PA^2+AD^2

=3^2+5^2=34.

The correct answer is B.