1996 AMC 12 Problema 24

Question

La sucesión

\begin{gathered} 1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,\\ 2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,2,\ldots \end{gathered}

consta de

1

separados por bloques de

2

, con

n

cifras

2

en el

n

-ésimo bloque. La suma de los primeros

1234

términos de esta sucesión es

The sequence

\begin{gathered} 1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,\\ 2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,2,\ldots \end{gathered}

consists of

1

’s separated by blocks of

2

’s with

n

2

’s in the

n

th block. The sum of the first

1234

terms of this sequence is

1996

2419

2429

2439

2449

Respuesta: B

Conceptos:sequences triangular numbers

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Cuenta el número total de términos hasta el final del

k

-ésimo bloque

Count the total number of terms through the end of the

k

th block

Pista grande:

Halla el último bloque completo antes del término

1234

y luego cuenta la parte utilizada del bloque siguiente

Find the last complete block before term

1234

, then account for the partial next block

Solución:

Hasta el bloque

k

hay

k

unos y

\frac{k(k+1)}{2}

doses, por lo que hay

\frac{k(k+3)}{2}

términos. Para

k=48

, esto es

1224.

Su suma es

48+2\left(\frac{48\cdot49}{2}\right)=2400.

Los

10

términos siguientes son un

1

y nueve

2

, cuya suma es

19.

La suma solicitada es

2419,

así que la respuesta correcta es B.

Through block

k

there are

k

ones and

\frac{k(k+1)}{2}

twos, hence

\frac{k(k+3)}{2}

terms. For

k=48

this is

1224.

Their sum is

48+2\left(\frac{48\cdot49}{2}\right)=2400.

The next

10

terms are one

1

and nine

2

’s, with sum

19.

The requested sum is

2419,

so the correct answer is B.