1995 AMC 12 Problema 22

Question

Se forma un pentágono al cortar una esquina triangular de una hoja rectangular. Los cinco lados del pentágono miden

13,

19,

20,

25

y

31,

aunque este no es necesariamente su orden alrededor del pentágono. El área del pentágono es

A pentagon is formed by cutting a triangular corner from a rectangular piece of paper. The five sides of the pentagon have lengths

13,

19,

20,

25

and

31,

although this is not necessarily their order around the pentagon. The area of the pentagon is

459

600

680

720

745

Respuesta: E

Conceptos:rectangles Pythagorean theorem area subtraction

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Dos lados del pentágono son las longitudes completas de los lados del rectángulo original

Two pentagon sides are the original rectangle’s full side lengths

Pista grande:

Busca dos diferencias entre las longitudes que, junto con una tercera longitud dada, formen un triángulo rectángulo

Look for two differences among the lengths that form the legs of a right triangle with a third listed length

Solución:

Los lados completos del rectángulo deben ser mayores que los dos segmentos restantes sobre esos mismos lados. La única asignación cuyas dos diferencias y el lado cortado restante forman un triángulo rectángulo es el rectángulo de

25

por

31,

con segmentos restantes

20

y

19.

La esquina eliminada tiene entonces catetos

25-20=5

y

31-19=12,

cuya hipotenusa es el lado dado

13.

Así, el área del pentágono es

\begin{aligned} 25\cdot31-\frac12(5)(12) &=775-30\\ &=745. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The full rectangle sides must be longer than the two remnants on those same sides. The only assignment whose two differences and remaining cut side form a right triangle is the rectangle

25

by

31,

with remnants

20

and

19.

The removed corner then has legs

25-20=5

and

31-19=12,

whose hypotenuse is the listed side

13.

Thus the pentagon’s area is

\begin{aligned} 25\cdot31-\frac12(5)(12) &=775-30\\ &=745. \end{aligned}

Hence the correct answer is E.