1994 AMC 12 Problema 22

Question

Nueve sillas en fila serán ocupadas por seis estudiantes y los profesores Alfa, Beta y Gamma. Los tres profesores llegan antes que los seis estudiantes y deciden elegir sus sillas de modo que cada profesor quede entre dos estudiantes. ¿De cuántas maneras pueden elegir sus sillas los profesores Alfa, Beta y Gamma?

Nine chairs in a row are to be occupied by six students and Professors Alpha, Beta and Gamma. These three professors arrive before the six students and decide to choose their chairs so that each professor will be between two students. In how many ways can Professors Alpha, Beta and Gamma choose their chairs?

12

36

60

84

630

Respuesta: C

Conceptos:seating arrangements nonconsecutive selections

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Las sillas de los profesores no pueden estar en los extremos ni ser adyacentes

Professor chairs cannot be endpoints or adjacent to one another

Pista grande:

Primero elige tres posiciones no consecutivas entre las sillas

2

a

8

, y luego asigna los profesores

First choose three nonconsecutive positions from chairs

2

through

8

, then assign the professors

Solución:

Los profesores deben ocupar tres posiciones no consecutivas entre las sillas

2,3,\ldots,8.

El número de tales subconjuntos de

3

elementos entre

7

posiciones consecutivas es

\binom{7-3+1}{3}=\binom53=10.

Los tres profesores distintos se pueden asignar a las sillas elegidas de

3!=6

maneras, lo que da

10\cdot6=60.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The professors must occupy three nonconsecutive positions among chairs

2,3,\ldots,8.

The number of such

3

-subsets of

7

consecutive positions is

\binom{7-3+1}{3}=\binom53=10.

The three distinct professors can be assigned to the selected chairs in

3!=6

ways, for

10\cdot6=60.

Thus the correct answer is C.