1992 AMC 12 Problema 22

Question

Se seleccionan diez puntos en el semieje positivo de

x

,

\mathrm{X}^+,

y cinco puntos en el semieje positivo de

y

,

\mathrm{Y}^+.

Se trazan los cincuenta segmentos que conectan los diez puntos seleccionados de

\mathrm{X}^+

con los cinco puntos seleccionados de

\mathrm{Y}^+.

¿Cuál es el máximo número posible de puntos de intersección de estos cincuenta segmentos que pueden estar en el interior del primer cuadrante?

Ten points are selected on the positive

x

-axis,

\mathrm{X}^+,

and five points are selected on the positive

y

-axis,

\mathrm{Y}^+.

The fifty segments connecting the ten selected points on

\mathrm{X}^+

to the five selected points on

\mathrm{Y}^+

are drawn. What is the maximum possible number of points of intersection of these fifty segments that could lie in the interior of the first quadrant?

250

450

500

1250

2500

Respuesta: B

Conceptos:combinatorial geometry intersections binomial coefficient

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Una intersección interior queda determinada al elegir dos puntos de cada eje

An interior crossing is determined by choosing two points from each axis

Pista grande:

Para cada par seleccionado en cada eje, exactamente un par de los cuatro segmentos conectores se cruza

For each selected pair on each axis, exactly one pair of the four connecting segments crosses

Solución:

Elige dos de los

10

puntos del eje

x

y dos de los

5

puntos del eje

y

. Entre los cuatro segmentos conectores, los dos cuyos extremos están en orden inverso se cruzan exactamente una vez. Los puntos se pueden elegir de modo que no haya tres segmentos que pasen por el mismo punto interior, por lo que el máximo es

\binom{10}{2}\binom{5}{2}=45\cdot10=450.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Choose two of the

10

points on the

x

-axis and two of the

5