1992 AMC 12 Problema 17

Question

Los enteros de dos cifras desde

19

hasta

92

se escriben consecutivamente para formar el entero grande

N=19202122\ldots909192.

Si

3^k

es la mayor potencia de

3

que divide a

N,

entonces

k=

The two-digit integers from

19

to

92

are written consecutively to form the large integer

N=19202122\ldots909192.

If

3^k

is the highest power of

3

that is a factor of

N,

then

k=

0

1

2

3

más de

3

more than

3

Respuesta: B

Conceptos:divisibility by 3 and 9 digit sum arithmetic series

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Usa las pruebas de la suma de cifras para la divisibilidad por

3

y por

9

Use the digit-sum tests for divisibility by

3

and

9

Pista grande:

Módulo

9,

la suma de cifras de la concatenación equivale a

19+20+\cdots+92

Modulo

9,

the digit sum of the concatenation equals

19+20+\cdots+92

Solución:

Módulo

9,

un número es congruente con la suma de sus cifras, así que

\begin{aligned} N&\equiv19+20+\cdots+92\\ &=\frac{74(19+92)}2\\ &=4107\equiv3\pmod9. \end{aligned}

Por tanto,

N

es divisible por

3

pero no por

9,

de modo que la mayor potencia de

3

que lo divide es

3^1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Modulo

9,

a number is congruent to its digit sum, so

\begin{aligned} N&\equiv19+20+\cdots+92\\ &=\frac{74(19+92)}2\\ &=4107\equiv3\pmod9. \end{aligned}

Thus

N

is divisible by

3

but not by

9,

so the highest power of

3

dividing it is

3^1.

Thus the correct answer is B.