1986 AMC 12 Problema 24

Question

Sea

p(x)=x^2+bx+c,

donde

b

y

c

son enteros. Si

p(x)

es un factor tanto de

x^4+6x^2+25

como de

3x^4+4x^2+28x+5,

¿cuánto vale

p(1)

?

Let

p(x)=x^2+bx+c,

where

b

and

c

are integers. If

p(x)

is a factor of both

x^4+6x^2+25

and

3x^4+4x^2+28x+5,

what is

p(1)?

0

1

2

4

8

Un factor común divide toda combinación lineal entera de los dos polinomios

A common factor divides every integer linear combination of the two polynomials

Resta el segundo polinomio de tres veces el primero

Subtract the second polynomial from three times the first

El factor común

p(x)

divide

\begin{aligned} &3(x^4+6x^2+25)\\ &\quad{}-(3x^4+4x^2+28x+5)\\ &\qquad=14(x^2-2x+5). \end{aligned}

Como

p(x)

es mónico y tiene coeficientes enteros, el lema de Gauss implica que divide

x^2-2x+5.

Ambos polinomios son mónicos y tienen el mismo grado, así que

p(x)=x^2-2x+5.

Por tanto,

p(1)=1-2+5=4.

Por tanto, la respuesta correcta es D.

The common factor

p(x)

divides

\begin{aligned} &3(x^4+6x^2+25)\\ &\quad{}-(3x^4+4x^2+28x+5)\\ &\qquad=14(x^2-2x+5). \end{aligned}

Because

p(x)

is monic with integer coefficients, Gauss’s lemma implies that it divides

x^2-2x+5.

The two polynomials are monic and have the same degree, so

p(x)=x^2-2x+5.

Hence

p(1)=1-2+5=4.

Thus the correct answer is D.

El Problema 24 en otros años