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1976 AMC 12 Problema 17

Intenta el Problema 17 del 1976 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1976 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

17.

Si θ\theta es un ángulo agudo y sin⁡2θ=a,\sin2\theta=a, entonces sin⁡θ+cos⁡θ\sin\theta+\cos\theta es igual a
If θ\theta is an acute angle and sin⁡2θ=a,\sin2\theta=a, then sin⁡θ+cos⁡θ\sin\theta+\cos\theta equals
a+1\sqrt{a+1}
(2−1)a+1(\sqrt2-1)a+1
a+1−a2−a\sqrt{a+1}-\sqrt{a^2-a}
a+1+a2−a\sqrt{a+1}+\sqrt{a^2-a}
a+1+a2−a\sqrt{a+1}+a^2-a
Respuesta: A
Conceptos:identidad trigonométricatrigonometríaradical
Nivel de dificultad: 1530
Pista pequeña:
Eleva al cuadrado la expresión sin⁡θ+cos⁡θ\sin\theta+\cos\theta
Square the expression sin⁡θ+cos⁡θ\sin\theta+\cos\theta
Pista grande:
Usa 2sin⁡θcos⁡θ=sin⁡2θ2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta y el hecho de que la suma buscada es positiva
Use 2sin⁡θcos⁡θ=sin⁡2θ2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta and the fact that the desired sum is positive
Solución:
Tenemos (sin⁡θ+cos⁡θ)2=sin⁡2θ+cos⁡2θ+2sin⁡θcos⁡θ=1+a. \begin{aligned} (\sin\theta+\cos\theta)^2 &=\sin^2\theta+\cos^2\theta\\ &\quad+2\sin\theta\cos\theta\\ &=1+a. \end{aligned} Tanto el seno como el coseno son positivos para un θ\theta agudo, así que la suma es a+1.\sqrt{a+1}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
We have (sin⁡θ+cos⁡θ)2=sin⁡2θ+cos⁡2θ+2sin⁡θcos⁡θ=1+a. \begin{aligned} (\sin\theta+\cos\theta)^2 &=\sin^2\theta+\cos^2\theta\\ &\quad+2\sin\theta\cos\theta\\ &=1+a. \end{aligned} Both sine and cosine are positive for acute θ,\theta, so the sum is a+1.\sqrt{a+1}.
Therefore, the correct answer is A.
Problema 16#16
Examen completo
Problema 18#18

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