Question

Hay un $40\%$ de probabilidad de lluvia el sábado y un $30\%$ de probabilidad de lluvia el domingo. Sin embargo, es dos veces más probable que llueva el domingo si llueve el sábado que si no llueve el sábado. La probabilidad de que llueva al menos un día este fin de semana es $\frac{a}{b},$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $a + b.$

There is a $40\%$ chance of rain on Saturday and a $30\%$ chance of rain on Sunday. However, it is twice as likely to rain on Sunday if it rains on Saturday than if it does not rain on Saturday. The probability that it rains at least one day this weekend is $\frac{a}{b},$ where $a$ and $b$ are relatively prime positive integers. Find $a + b.$

Respuesta

Respuesta: 107

Conceptos:probabilidad condicional probabilidad complementaria

Nivel de dificultad: 2070

Solución:

Sea $p$ la probabilidad de que llueva el domingo dado un sábado seco; dado un sábado lluvioso es $2p.$ La probabilidad global del domingo da $0.4(2p) + 0.6p = 0.3,$ así que $1.4p = 0.3$ y $p = \frac{3}{14}.$

El fin de semana es completamente seco exactamente cuando el sábado está seco y luego el domingo está seco: $\frac{3}{5}\left(1 - \frac{3}{14}\right) = \frac{3}{5} \cdot \frac{11}{14} = \frac{33}{70}.$ Así que la probabilidad de que llueva al menos un día es $1 - \frac{33}{70} = \frac{37}{70},$ que está en su forma más simple, y $a + b = 37 + 70 = 107.$

Let $p$ be the probability that it rains on Sunday given a dry Saturday; given a rainy Saturday it is $2p.$ The overall Sunday chance gives $0.4(2p) + 0.6p = 0.3,$ so $1.4p = 0.3$ and $p = \frac{3}{14}.$

The weekend is completely dry exactly when Saturday is dry and then Sunday is dry: $\frac{3}{5}\left(1 - \frac{3}{14}\right) = \frac{3}{5} \cdot \frac{11}{14} = \frac{33}{70}.$ So the probability of rain on at least one day is $1 - \frac{33}{70} = \frac{37}{70},$ which is in lowest terms, and $a + b = 37 + 70 = 107.$

2016 AIME II Problema 2

Respuesta: 107

Nivel de dificultad: 2070

Solución:

El Problema 2 en otros años