2012 AIME II Problema 2

Intenta el Problema 2 del 2012 AIME II a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2012 AIME II, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

2.

Dos progresiones geométricas

a_1,

a_2,

a_3,

\ldots

y

b_1,

b_2,

b_3,

\ldots

tienen la misma razón común, con

a_1 = 27,

b_1 = 99,

y

a_{15} = b_{11}.

Halle

a_9.

Two geometric sequences

a_1,

a_2,

a_3,

\ldots

and

b_1,

b_2,

b_3,

\ldots

have the same common ratio, with

a_1 = 27,

b_1 = 99,

and

a_{15} = b_{11}.

Find

a_9.

Respuesta

Respuesta: 363

Conceptos:sucesión geométrica manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

Con razón común

r,

la condición

a_{15} = b_{11}

dice que

27r^{14} = 99r^{10}

.

With common ratio

r,

the condition

a_{15} = b_{11}

says

27r^{14} = 99r^{10}

Pista grande:

Solo necesita

r^4,

porque

a_9 = 27r^8

.

You only need

r^4,

because

a_9 = 27r^8

Solución:

Sea

r

la razón común. Entonces

a_{15} = 27r^{14}

y

b_{11} = 99r^{10},

así que

27r^{14} = 99r^{10}

da

r^4 = \frac{99}{27} = \frac{11}{3}.

Por lo tanto

\begin{aligned} a_9 &= 27r^8 = 27\left(\frac{11}{3}\right)^2 \\ &= 27 \cdot \frac{121}{9} = 3 \cdot 121 = 363. \end{aligned}

Let

r

be the shared common ratio. Then

a_{15} = 27r^{14}

and

b_{11} = 99r^{10},

so

27r^{14} = 99r^{10}

gives

r^4 = \frac{99}{27} = \frac{11}{3}.

Therefore

\begin{aligned} a_9 &= 27r^8 = 27\left(\frac{11}{3}\right)^2 \\ &= 27 \cdot \frac{121}{9} = 3 \cdot 121 = 363. \end{aligned}