Question

Sea el conjunto $\mathcal{S} = \{8, 5, 1, 13, 34, 3, 21, 2\}.$ Susan hace una lista de la siguiente manera: para cada subconjunto de dos elementos de $\mathcal{S},$ escribe en su lista el mayor de los dos elementos del subconjunto. Halla la suma de los números de la lista.

Let the set $\mathcal{S} = \{8, 5, 1, 13, 34, 3, 21, 2\}.$ Susan makes a list as follows: for each two-element subset of $\mathcal{S},$ she writes on her list the greater of the set's two elements. Find the sum of the numbers on the list.

Respuesta

Respuesta: 484

Conceptos:conteo de pares doble conteo

Nivel de dificultad: 1840

Solución:

Un elemento $x$ es el elemento mayor de un subconjunto de dos elementos exactamente una vez por cada elemento menor del conjunto, así que $x$ contribuye a la suma una vez por cada elemento por debajo de él. Ordenando el conjunto como $1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,$ la suma de la lista es $\begin{aligned} &0(1) + 1(2) + 2(3) + 3(5) \\ &\quad {}+ 4(8) + 5(13) + 6(21) \\ &\quad {}+ 7(34) \\ &= 2 + 6 + 15 + 32 \\ &\quad {}+ 65 + 126 + 238 = 484. \end{aligned}$

An element $x$ is the greater element of a two-element subset exactly once for each smaller element of the set, so $x$ contributes to the sum once per element below it. Sorting the set as $1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,$ the sum of the list is $\begin{aligned} &0(1) + 1(2) + 2(3) + 3(5) \\ &\quad {}+ 4(8) + 5(13) + 6(21) \\ &\quad {}+ 7(34) \\ &= 2 + 6 + 15 + 32 \\ &\quad {}+ 65 + 126 + 238 = 484. \end{aligned}$

2003 AIME I Problema 3

Respuesta: 484

Nivel de dificultad: 1840

Solución:

El Problema 3 en otros años