2002 AIME II Problema 3

Question

Se da que

\log_{6} a + \log_{6} b + \log_{6} c = 6,

donde

a,

b,

y

c

son enteros positivos que forman una progresión geométrica creciente y

b - a

es el cuadrado de un entero. Halla

a + b + c.

It is given that

\log_{6} a + \log_{6} b + \log_{6} c = 6,

where

a,

b,

and

c

are positive integers that form an increasing geometric sequence and

b - a

is the square of an integer. Find

a + b + c.

Respuesta

Respuesta: 111

Conceptos:logaritmo sucesión geométrica divisibilidad

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Combina los logaritmos:

abc = 6^6.

En una progresión geométrica

ac = b^2,

así que

b^3 = 6^6

Combine the logs:

abc = 6^6.

In a geometric sequence

ac = b^2,

so

b^3 = 6^6

Pista grande:

Con

b = 36,

escribe

a = 36 - k^2

y exige que

a

divida a

36^2

With

b = 36,

write

a = 36 - k^2

and require that

a

divide

36^2

Solución:

Sumar los logaritmos da

\log_6(abc) = 6,

así que

abc = 6^6.

En una progresión geométrica

ac = b^2,

de donde

b^3 = 6^6,

por lo que

b = 36

y

ac = 36^2 = 1296.

Como la progresión es creciente,

b - a

es un cuadrado perfecto positivo, así que

a = 36 - k^2

para algún

k = 1, \ldots, 5,

lo que da los candidatos

35,

32,

27,

20,

11.

Además

a

debe dividir a

1296 = 2^4 \cdot 3^4,

y de los candidatos solo

27

lo hace, con

c = \frac{1296}{27} = 48.

En efecto,

27,

36,

48

es geométrica con razón

\frac{4}{3},

y

a + b + c = 27 + 36 + 48 = 111.

Adding the logs gives

\log_6(abc) = 6,

so

abc = 6^6.

In a geometric sequence

ac = b^2,

hence

b^3 = 6^6,

so

b = 36

and

ac = 36^2 = 1296.

Since the sequence is increasing,

b - a

is a positive perfect square, so

a = 36 - k^2

for some

k = 1, \ldots, 5,

giving candidates

35,

32,

27,

20,

11.

Also

a

must divide

1296 = 2^4 \cdot 3^4,

and of the candidates only

27

does, with

c = \frac{1296}{27} = 48.

Indeed

27,

36,

48

is geometric with ratio

\frac{4}{3},

and

a + b + c = 27 + 36 + 48 = 111.