2002 AIME II Problema 1

Question

Se sabe que:

(1)

x

e

y

son números enteros entre

100

y

999,

ambos inclusive;

(2)

y

es el número formado al invertir el orden de las cifras de

x;

y

(3)

z = |x - y|.

¿Cuántos valores distintos de

z

son posibles?

Given that

(1)

x

and

y

are both integers between

100

and

999,

inclusive;

(2)

y

is the number formed by reversing the digits of

x;

and

(3)

z = |x - y|.

How many distinct values of

z

are possible?

Respuesta

Respuesta: 9

Conceptos:valor posicional dígitos

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

Escribe

x = 100h + 10t + u;

luego

y = 100u + 10t + h,

y calcula

x - y

Write

x = 100h + 10t + u;

then

y = 100u + 10t + h,

and compute

x - y

Pista grande:

z = 99\,|h - u|,

y tanto

h

como

u

son al menos

1

porque

x

y

y

son ambos números de tres cifras

z = 99\,|h - u|,

and both

h

and

u

are at least

1

because

x

and

y

are both three-digit numbers

Solución:

Escribe

x = 100h + 10t + u

con cifras

h,

t,

u.

Entonces

y = 100u + 10t + h,

así que

z = |x - y| = 99\,|h - u|.

Como

x

y

y

son ambos números de tres cifras, tanto

h

como

u

recorren de

1

a

9,

así que

|h - u|

puede ser cualquiera de

0,

1,

\ldots,

8.

Cada elección da un múltiplo distinto de

99,

por lo que hay

9

valores distintos de

z.

Write

x = 100h + 10t + u

with digits

h,

t,

u.

Then

y = 100u + 10t + h,

so

z = |x - y| = 99\,|h - u|.

Since both

x

and

y

are three-digit numbers, both

h

and

u

run from

1

to

9,

so

|h - u|

can be any of

0,

1,

\ldots,

8.

Each choice gives a different multiple of

99,

so there are

9

distinct values of

z.