2000 AIME II Problema 1

Question

El número

\frac{2}{\log_4 2000^6} + \frac{3}{\log_5 2000^6}

se puede escribir como

\frac{m}{n},

donde

m

y

n

son enteros positivos primos entre sí. Halla

m + n.

The number

\frac{2}{\log_4 2000^6} + \frac{3}{\log_5 2000^6}

can be written as

\frac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. Find

m + n.

Respuesta

Conceptos:logaritmo

Usa

\frac{1}{\log_b a} = \log_a b

para reescribir ambos términos como logaritmos en base

2000^6

.

Use

\frac{1}{\log_b a} = \log_a b

to rewrite both terms as logarithms with base

2000^6

La suma se convierte en

\log_{2000^6}(4^2 \cdot 5^3),

y

4^2 \cdot 5^3 = 2000

.

The sum becomes

\log_{2000^6}(4^2 \cdot 5^3),

and

4^2 \cdot 5^3 = 2000

Como

\frac{1}{\log_b a} = \log_a b,

los dos términos valen

2\log_{2000^6} 4 = \log_{2000^6} 16

y

3\log_{2000^6} 5 = \log_{2000^6} 125.

Su suma es

\begin{aligned} \log_{2000^6}(16 \cdot 125) &= \log_{2000^6} 2000 \\ &= \frac{1}{6}. \end{aligned}

Como

\gcd(1, 6) = 1,

la respuesta es

m + n = 1 + 6 = 7.

Since

\frac{1}{\log_b a} = \log_a b,

the two terms equal

2\log_{2000^6} 4 = \log_{2000^6} 16

and

3\log_{2000^6} 5 = \log_{2000^6} 125.

Their sum is

\begin{aligned} \log_{2000^6}(16 \cdot 125) &= \log_{2000^6} 2000 \\ &= \frac{1}{6}. \end{aligned}

Since

\gcd(1, 6) = 1,

the answer is

m + n = 1 + 6 = 7.

El Problema 1 en otros años