2000 AIME I Problema 3

Question

En el desarrollo de

(ax + b)^{2000},

donde

a

y

b

son enteros positivos primos entre sí, los coeficientes de

x^2

y

x^3

son iguales. Halla

a + b.

In the expansion of

(ax + b)^{2000},

where

a

and

b

are relatively prime positive integers, the coefficients of

x^2

and

x^3

are equal. Find

a + b.

Respuesta

Respuesta: 667

Conceptos:teorema del binomio máximo común divisor

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Iguala los coeficientes

\binom{2000}{2} a^2 b^{1998}

y

\binom{2000}{3} a^3 b^{1997}

Set the coefficients

\binom{2000}{2} a^2 b^{1998}

and

\binom{2000}{3} a^3 b^{1997}

equal

Pista grande:

Cancela los factores comunes para obtener

3b = 1998a,

y luego usa que

a

y

b

son primos entre sí

Cancel common factors to get

3b = 1998a,

then use that

a

and

b

are relatively prime

Solución:

Por el teorema del binomio, los coeficientes de

x^2

y

x^3

son

\binom{2000}{2} a^2 b^{1998}

y

\binom{2000}{3} a^3 b^{1997}.

Igualándolos y cancelando

a^2 b^{1997}

se obtiene

\binom{2000}{2} b = \binom{2000}{3} a,

de modo que

b = \frac{1998}{3}\,a = 666a.

Como

\gcd(a, b) = 1,

debe ser

a = 1

y

b = 666,

así que

a + b = 667.

By the binomial theorem, the coefficients of

x^2

and

x^3

are

\binom{2000}{2} a^2 b^{1998}

and

\binom{2000}{3} a^3 b^{1997}.

Setting them equal and cancelling

a^2 b^{1997}

gives

\binom{2000}{2} b = \binom{2000}{3} a,

so

b = \frac{1998}{3}\,a = 666a.

Since

\gcd(a, b) = 1,

we must have

a = 1

and

b = 666,

so

a + b = 667.