Question

Para cada número real

x,

sea

\lfloor x\rfloor

el mayor entero que no excede a

x.

¿Para cuántos enteros positivos

n

se cumple que

n<1000

y que

\lfloor\log_2 n\rfloor

es un entero positivo par?

For each real number

x,

let

\lfloor x\rfloor

denote the greatest integer that does not exceed

x.

For how many positive integers

n

is it true that

n<1000

and that

\lfloor\log_2 n\rfloor

is a positive even integer?

Respuesta

Respuesta: 340

Conceptos:funciones piso y techo logaritmo conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Convierte cada valor posible de

\lfloor\log_2n\rfloor

en un intervalo entre potencias de dos

Translate each possible value of

\lfloor\log_2n\rfloor

into a power-of-two interval

Pista grande:

Los posibles valores pares menores que

1000

son

2,

4,

6,

y

8

The possible even values below

1000

are

2,

4,

6,

and

8

Solución:

Si

\lfloor\log_2n\rfloor=k,

entonces

2^k\leq n<2^{k+1}.

El valor de

k

puede ser

2,

4,

6,

u

8,

pues

2^{10}>1000.

Los tamaños de los intervalos correspondientes son

2^2,

2^4,

2^6,

y

2^8.

Por lo tanto, la cantidad pedida es

4+16+64+256=340.

If

\lfloor\log_2n\rfloor=k,

then

2^k\leq n<2^{k+1}.

The value of

k

can be

2,

4,

6,

or

8,

since

2^{10}>1000.

The corresponding interval sizes are

2^2,

2^4,

2^6,

and

2^8.

Therefore the requested number is

4+16+64+256=340.

1996 AIME Problema 2

Respuesta: 340

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 2 en otros años