Question

Sea

P_1

un polígono regular de

r

lados y

P_2

un polígono regular de

s

lados

(r\geq s\geq3)

, tales que cada ángulo interior de

P_1

mide

\frac{59}{58}

de cada ángulo interior de

P_2.

¿Cuál es el mayor valor posible de

s

?

Let

P_1

be a regular

r

-gon and

P_2

be a regular

s

-gon

(r\geq s\geq3)

such that each interior angle of

P_1

is

\frac{59}{58}

as large as each interior angle of

P_2.

What is the largest possible value of

s?

Respuesta

Respuesta: 117

Conceptos:polígono regular divisibilidad Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Usa

\frac{180(n-2)}{n}

para el ángulo interior de un polígono regular de

n

lados

Use

\frac{180(n-2)}{n}

for the interior angle of a regular

n

-gon

Pista grande:

Después de simplificar, sea

t=118-s

y usa que

t

es positivo

After simplifying, set

t=118-s

and use the positivity of

t

Solución:

La condición sobre los ángulos da

\frac{\frac{r-2}{r}}{\frac{s-2}{s}}=\frac{59}{58},

que se simplifica a

r(118-s)=116s.

Sea

t=118-s.

Entonces

r=\frac{13688}{t}-116.

En particular,

t

es un divisor positivo de

13688,

y maximizar

s=118-t

exige tomar el menor

t

posible. La elección

t=1

da

s=117

y el entero positivo

r=13572,

que también satisface

r\geq s.

Por lo tanto, el mayor valor posible de

s

es

117.

The angle condition gives

\frac{\frac{r-2}{r}}{\frac{s-2}{s}}=\frac{59}{58},

which simplifies to

r(118-s)=116s.

Put

t=118-s.

Then

r=\frac{13688}{t}-116.

In particular,

t

is a positive divisor of

13688,

and maximizing

s=118-t

means taking the least possible

t.

The choice

t=1

gives

s=117

and the positive integer

r=13572,

which also satisfies

r\geq s.

Hence the largest possible

s

is

117.

1990 AIME Problema 3

Respuesta: 117

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 3 en otros años