Question

Evalúa el producto

\begin{gathered} (\sqrt5+\sqrt6+\sqrt7)\\ {}\cdot(-\sqrt5+\sqrt6+\sqrt7)\\ {}\cdot(\sqrt5-\sqrt6+\sqrt7)\\ {}\cdot(\sqrt5+\sqrt6-\sqrt7). \end{gathered}

Evaluate the product

\begin{gathered} (\sqrt5+\sqrt6+\sqrt7)\\ {}\cdot(-\sqrt5+\sqrt6+\sqrt7)\\ {}\cdot(\sqrt5-\sqrt6+\sqrt7)\\ {}\cdot(\sqrt5+\sqrt6-\sqrt7). \end{gathered}

Respuesta

Empareja los factores de modo que cada pareja sea una diferencia de cuadrados

Pair factors so that each pair is a difference of squares

Después del primer emparejamiento, los radicales restantes solo aparecen mediante

\sqrt{42}

After the first pairing, the remaining radicals occur only through

\sqrt{42}

Empareja los dos primeros factores y luego los dos últimos:

\begin{gathered} (\sqrt6+\sqrt7)^2-(\sqrt5)^2\\ {}=8+2\sqrt{42},\\ (\sqrt5)^2-(\sqrt7-\sqrt6)^2\\ {}=-8+2\sqrt{42}. \end{gathered}

Por lo tanto, el producto pedido es

\begin{aligned} &(8+2\sqrt{42})(-8+2\sqrt{42})\\ &\qquad=168-64=104. \end{aligned}

Pair the first two factors, then the last two:

\begin{gathered} (\sqrt6+\sqrt7)^2-(\sqrt5)^2\\ {}=8+2\sqrt{42},\\ (\sqrt5)^2-(\sqrt7-\sqrt6)^2\\ {}=-8+2\sqrt{42}. \end{gathered}

Therefore the requested product is

\begin{aligned} &(8+2\sqrt{42})(-8+2\sqrt{42})\\ &\qquad=168-64=104. \end{aligned}