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1984 AIME Problema 3

Intenta el Problema 3 del 1984 AIME a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1984 AIME, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

3.

Se elige un punto PP en el interior de △ABC\triangle ABC de modo que, al trazar por PP rectas paralelas a los lados de △ABC,\triangle ABC, los triángulos más pequeños t1,t_1, t2,t_2, y t3t_3 de la figura tienen áreas 4,4, 9,9, y 49,49, respectivamente. Halla el área de △ABC.\triangle ABC.
A point PP is chosen in the interior of △ABC\triangle ABC so that when lines are drawn through PP parallel to the sides of △ABC,\triangle ABC, the resulting smaller triangles, t1,t_1, t2,t_2, and t3t_3 in the figure, have areas 4,4, 9,9, and 49,49, respectively. Find the area of △ABC.\triangle ABC.
Respuesta: 144
Conceptos:semejanzarazón de áreas
Nivel de dificultad: 2260
Pista pequeña:
Cada uno de los tres triángulos pequeños es semejante a △ABC\triangle ABC
Each of the three smaller triangles is similar to △ABC\triangle ABC
Pista grande:
Convierte cada razón de áreas en una razón de longitudes y suma las tres razones de longitudes
Convert each area ratio into a linear ratio and add the three linear ratios
Solución:
Sea el área de △ABC\triangle ABC igual a K.K. Los tres triángulos pequeños son semejantes a △ABC,\triangle ABC, por lo que sus razones de longitudes correspondientes son 2K,3K,7K. \frac{2}{\sqrt K},\qquad \frac{3}{\sqrt K},\qquad \frac{7}{\sqrt K}. Cada factor de escala también es la distancia perpendicular de PP a un lado dividida entre la altura relativa a ese lado. Estas son las tres razones de áreas baricéntricas [PBC]K,\frac{[PBC]}{K}, [PCA]K,\frac{[PCA]}{K}, y [PAB]K,\frac{[PAB]}{K}, cuya suma es 1.1. Por lo tanto, 2+3+7K=1. \frac{2+3+7}{\sqrt K}=1. Así, K=12\sqrt K=12 y K=144.K=144.
Let the area of △ABC\triangle ABC be K.K. The three small triangles are similar to △ABC,\triangle ABC, so their corresponding linear ratios are 2K,3K,7K. \frac{2}{\sqrt K},\qquad \frac{3}{\sqrt K},\qquad \frac{7}{\sqrt K}. Each such scale factor is also the perpendicular distance from PP to one side divided by the altitude to that side. These are the three barycentric area ratios [PBC]K,\frac{[PBC]}{K}, [PCA]K,\frac{[PCA]}{K}, and [PAB]K,\frac{[PAB]}{K}, which add to 1.1. Hence 2+3+7K=1. \frac{2+3+7}{\sqrt K}=1. Therefore K=12\sqrt K=12 and K=144.K=144.
Problema 2#2
Examen completo
Problema 4#4

El Problema 3 en otros años

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