Question

Sea

f(x)=|x-p|+|x-15|

{}+|x-p-15|,

donde

0<p<15.

Determina el valor mínimo que toma

f(x)

para

x

en el intervalo

p\leq x\leq15.

Let

f(x)=|x-p|+|x-15|

{}+|x-p-15|,

where

0<p<15.

Determine the minimum value taken by

f(x)

for

x

in the interval

p\leq x\leq15.

Respuesta

Determina el signo de cada expresión dentro de un valor absoluto en el intervalo dado

Determine the sign of each expression inside an absolute value on the given interval

En

p\leq x\leq15,

simplifica

f(x)

a una función lineal decreciente

On

p\leq x\leq15,

simplify

f(x)

to a decreasing linear function

Como

p\leq x\leq15,

tenemos

\begin{aligned} |x-p|&=x-p,\\ |x-15|&=15-x,\\ |x-p-15|&=p+15-x. \end{aligned}

Por consiguiente,

f(x)=30-x.

Esto se minimiza en el extremo derecho

x=15,

donde su valor es

15.

Since

p\leq x\leq15,

we have

\begin{aligned} |x-p|&=x-p,\\ |x-15|&=15-x,\\ |x-p-15|&=p+15-x. \end{aligned}

Hence

f(x)=30-x.

This is minimized at the right endpoint

x=15,

where its value is

15.