2025 AMC 12A 第 19 题

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19.

设

a

，

b

，和

c

是多项式

x^3 + kx + 1

的根。求下面这个和：

\begin{aligned} &a^3b^2 + a^2b^3 + b^3c^2 \\ &\quad {}+ b^2c^3 + c^3a^2 + c^2a^3 \end{aligned}\text{？}

Let

a,

b,

and

c

be the roots of the polynomial

x^3 + kx + 1.

What is the sum

\begin{aligned} &a^3b^2 + a^2b^3 + b^3c^2 \\ &\quad {}+ b^2c^3 + c^3a^2 + c^2a^3? \end{aligned}

-k

-k + 1

1

k - 1

k

答案：E

知识点：韦达定理对称性（代数）

难度评级：2020

小提示：

由韦达定理，

a + b + c = 0

，

ab + bc + ca = k

，且

abc = -1

。

By Vieta,

a + b + c = 0,

ab + bc + ca = k,

and

abc = -1

大提示：

分组为

a^2b^2(a + b) + b^2c^2(b + c)

+ c^2a^2(c + a)

，再用

a + b = -c

。

Group as

a^2b^2(a + b) + b^2c^2(b + c)

+ c^2a^2(c + a)

and replace

a + b = -c

解答：

由韦达定理，

a + b + c = 0

，

ab + bc + ca = k

，且

abc = -1

。

将原和分组为

\begin{aligned} &a^2b^2(a + b) + b^2c^2(b + c) \\ &\quad {}+ c^2a^2(c + a)\text{。} \end{aligned}

因为

a + b + c = 0

，所以

a + b = -c

、

b + c = -a

、

c + a = -b

。

因此原和等于

\begin{gathered} -a^2b^2 c - ab^2c^2 - a^2bc^2 \\ = -abc(ab + bc + ca) \\ = -(-1)(k) = k\text{。} \end{gathered}

因此，正确答案是 E。

By Vieta’s formulas,

a + b + c = 0,

ab + bc + ca = k,

and

abc = -1.

Group the sum as

\begin{aligned} &a^2b^2(a + b) + b^2c^2(b + c) \\ &\quad {}+ c^2a^2(c + a). \end{aligned}

Since

a + b + c = 0,

we have

a + b = -c,

b + c = -a,

c + a = -b.

So the sum equals

\begin{gathered} -a^2b^2 c - ab^2c^2 - a^2bc^2 \\ = -abc(ab + bc + ca) \\ = -(-1)(k) = k. \end{gathered}

Thus, the correct answer is E.

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