2024 AMC 12A 第 14 题

Question

一个

5\times5

整数数组中，每一行按顺序的五个数，以及每一列按顺序的五个数，都构成一个长度为

5

的等差数列。位置

(5,5)

，

(2,4)

，

(4,3)

和

(3,1)

上的数分别是

0

，

48

，

16

和

12

。位置

(1,2)

上的数是多少？

\begin{bmatrix} \cdot & ? & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & 48 & \cdot \\ 12 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & 16 & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 0 \end{bmatrix}

The numbers, in order, of each row and the numbers, in order, of each column of a

5\times5

array of integers form an arithmetic progression of length

5.

The numbers in positions

(5,5),

(2,4),

(4,3),

and

(3,1)

are

0,

48,

16,

and

12,

respectively. What number is in position

(1,2)?

\begin{bmatrix} \cdot & ? & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & 48 & \cdot \\ 12 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & 16 & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 0 \end{bmatrix}

19

24

29

34

39

答案：C

知识点：等差数列方程组

难度评级：1750

小提示：

如果每行每列都是等差数列，则条目可写成

\alpha+\beta i+\gamma j+\delta ij

。

If every row and every column is arithmetic, the entry has the form

\alpha+\beta i+\gamma j+\delta ij

大提示：

将四个已知条目代入这个形式，解出

\alpha,\beta,\gamma,\delta

。

Substitute the four known entries into that form and solve for

\alpha,\beta,\gamma,\delta

解答：

行和列都为等差数列的网格，其条目可写成双线性形式

a(i,j)=\alpha+\beta i+\gamma j+\delta ij

。四个已知值给出

\alpha+5\beta+5\gamma+25\delta=0\text{，}

\alpha+2\beta+4\gamma+8\delta=48\text{，}

\alpha+4\beta+3\gamma+12\delta=16\text{，}

\alpha+3\beta+\gamma+3\delta=12\text{。}

解得

\delta=-5,\ \beta=5,\

\gamma=22,\ \alpha=-10

。于是

a(1,2)=\alpha+\beta+2\gamma+2\delta

=-10+5+44-10

=29

。

因此正确答案是 C。

A grid whose rows and columns are all arithmetic has entries of the bilinear form

a(i,j)=\alpha+\beta i+\gamma j+\delta ij.

The four givens yield

\alpha+5\beta+5\gamma+25\delta=0,

\alpha+2\beta+4\gamma+8\delta=48,

\alpha+4\beta+3\gamma+12\delta=16,

\alpha+3\beta+\gamma+3\delta=12.

Solving gives

\delta=-5,\ \beta=5,\

\gamma=22,\ \alpha=-10.

Then

a(1,2)=\alpha+\beta+2\gamma+2\delta

=-10+5+44-10

=29.

Thus, the correct answer is C.

2024 AMC 12A 第 14 题

答案：C

难度评级：1750

小提示：

大提示：

解答：

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