Question

一个 $5\times5$ 整数数组中，每一行按顺序的五个数，以及每一列按顺序的五个数，都构成一个长度为 $5$ 的等差数列。位置 $(5,5),\ (2,4),\ (4,3)$ 和 $(3,1)$ 上的数分别是 $0,\ 48,\ 16$ 和 $12$ 。位置 $(1,2)$ 上的数是多少？

$\begin{bmatrix} \cdot & ? & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & 48 & \cdot \\ 12 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & 16 & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 0 \end{bmatrix}$

The numbers, in order, of each row and the numbers, in order, of each column of a $5\times5$ array of integers form an arithmetic progression of length $5.$ The numbers in positions $(5,5),\ (2,4),\ (4,3),$ and $(3,1)$ are $0,\ 48,\ 16,$ and $12,$ respectively. What number is in position $(1,2)?$

$\begin{bmatrix} \cdot & ? & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & 48 & \cdot \\ 12 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & 16 & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 0 \end{bmatrix}$

$19$

$24$

$29$

$34$

$39$

答案：C

知识点：等差数列方程组

难度评级：1750

解答：

行和列都为等差数列的网格，其条目可写成双线性形式 $a(i,j)=\alpha+\beta i+\gamma j+\delta ij$ 。四个已知值给出 $\alpha+5\beta+5\gamma+25\delta=0,$ $\alpha+2\beta+4\gamma+8\delta=48,$ $\alpha+4\beta+3\gamma+12\delta=16,$ $\alpha+3\beta+\gamma+3\delta=12.$

解得 $\delta=-5,\ \beta=5,\$ $\gamma=22,\ \alpha=-10$ 。于是 $a(1,2)=\alpha+\beta+2\gamma+2\delta$ $=-10+5+44-10$ $=29$ 。

因此正确答案是 C。

A grid whose rows and columns are all arithmetic has entries of the bilinear form $a(i,j)=\alpha+\beta i+\gamma j+\delta ij.$ The four givens yield $\alpha+5\beta+5\gamma+25\delta=0,$ $\alpha+2\beta+4\gamma+8\delta=48,$ $\alpha+4\beta+3\gamma+12\delta=16,$ $\alpha+3\beta+\gamma+3\delta=12.$

Solving gives $\delta=-5,\ \beta=5,\$ $\gamma=22,\ \alpha=-10.$ Then $a(1,2)=\alpha+\beta+2\gamma+2\delta$ $=-10+5+44-10$ $=29.$

Thus, the correct answer is C.

2024 AMC 12A 第 14 题

答案：C

难度评级：1750

解答：

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