2023 AMC 12A 第 25 题

Question

存在唯一的整数序列

a_1

，

a_2

，

\cdots a_{2023}

，使得只要

\tan 2023x

有定义，就有

\begin{gathered} \tan 2023x\\ {}=\tiny\dfrac{a_1\tan x+a_3\tan^3 x+a_5\tan^5 x+\cdots+a_{2023}\tan^{2023}x}{1+a_2\tan^2 x+a_4\tan^4 x\cdots+a_{2022}\tan^{2022}x} \end{gathered}

求

a_{2023}

？

There is a unique sequence of integers

a_1,

a_2,

\cdots a_{2023}

such that

\begin{gathered} \tan 2023x\\ {}=\tiny\dfrac{a_1\tan x+a_3\tan^3 x+a_5\tan^5 x+\cdots+a_{2023}\tan^{2023}x}{1+a_2\tan^2 x+a_4\tan^4 x\cdots+a_{2022}\tan^{2022}x} \end{gathered}

whenever

\tan 2023x

is defined. What is

a_{2023}?

-2023

-2022

-1

1

2023

答案：C

知识点：棣莫弗定理二项式定理

难度评级：2650

小提示：

展开

(\cos x+i\sin x)^{2023}

，并用

\tan 2023x=\dfrac{\operatorname{Im}}{\operatorname{Re}}

。

Expand

(\cos x+i\sin x)^{2023}

and use

\tan 2023x=\dfrac{\operatorname{Im}}{\operatorname{Re}}

大提示：

除以

\cos^{2023}x

后，

\tan^{2023}x

的最高次系数为

(-1)^{\frac{2023-1}{2}}\binom{2023}{2023}

Dividing by

\cos^{2023}x,

the top coefficient of

\tan^{2023}x

is

(-1)^{\frac{2023-1}{2}}\binom{2023}{2023}

解答：

由 De Moivre 公式，

(\cos x+i\sin x)^{2023}

=\cos 2023x+i\sin 2023x

。展开左边并取虚部与实部之比，再把分子、分母同除以

\cos^{2023}x

，即可把

\tan 2023x

写成题中关于

\tan x

的有理函数。

系数

a_{2023}

是分子中

\tan^{2023}x

的系数，来自

k=2023

项：

\begin{gathered} a_{2023}=(-1)^{\frac{2023-1}{2}}\binom{2023}{2023}\\ {}=(-1)^{1011}\\ {}=-1 \end{gathered}\text{。}

所以正确答案是 C。

By De Moivre,

(\cos x+i\sin x)^{2023}

=\cos 2023x+i\sin 2023x.

Expanding the left side and taking the ratio of imaginary to real parts gives

\tan 2023x

as the stated rational function of

\tan x

after dividing numerator and denominator by

\cos^{2023}x.

The coefficient

a_{2023}

is the coefficient of

\tan^{2023}x

in the numerator, which comes from the

k=2023

term:

\begin{gathered} a_{2023}=(-1)^{\frac{2023-1}{2}}\binom{2023}{2023}\\ {}=(-1)^{1011}\\ {}=-1. \end{gathered}

Thus, the correct answer is C.

2023 AMC 12A 第 25 题

答案：C

难度评级：2650

小提示：

大提示：

解答：

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