2023 AMC 12A 第 22 题

Question

设

f

是定义在正整数上的唯一函数，满足对所有正整数

n

都有

\sum_{d\mid n} d\cdot f\left(\frac{n}{d}\right)=1

其中求和遍历

n

的所有正因数。求

f(2023)

？

Let

f

be the unique function defined on the positive integers such that

\sum_{d\mid n} d\cdot f\left(\frac{n}{d}\right)=1

for all positive integers

n,

where the sum is taken over all positive divisors of

n.

What is

f(2023)?

-1536

96

108

116

144

答案：B

知识点：质因数分解递推

难度评级：2270

小提示：

这个关系递归地确定

f

；

f

实际上是积性函数

The relation determines

f

recursively;

f

turns out to be multiplicative

大提示：

计算

f(1)=1

、

f(p)=1-p

和

f(p^2)=1-p

；这里

2023=7\cdot 17^2

Compute

f(1)=1,

f(p)=1-p,

and

f(p^2)=1-p;

here

2023=7\cdot 17^2

解答：

令

n=1

，得

f(1)=1

。对素数

p

，令

n=p

，得

f(p)+p\cdot f(1)=1

，所以

f(p)=1-p

。令

n=p^2

，由

f(p^2)+p\,f(p)+p^2 f(1)=1

得

f(p^2)=1-p

。

由于定义关系是积性函数的 Dirichlet 卷积，

f

也是积性的。又

2023=7\cdot 17^2

，

\begin{gathered} f(2023)=f(7)\cdot f(17^2)\\ {}=(1-7)(1-17)\\ {}=(-6)(-16)\\ {}=96 \end{gathered}\text{。}

所以正确答案是 B。

Setting

n=1

gives

f(1)=1.

For a prime

p,

n=p

gives

f(p)+p\cdot f(1)=1,

so

f(p)=1-p.

For

n=p^2,

f(p^2)+p\,f(p)+p^2 f(1)=1

gives

f(p^2)=1-p.

Since the defining relation is a Dirichlet convolution of multiplicative functions,

f

is multiplicative. With

2023=7\cdot 17^2,

\begin{gathered} f(2023)=f(7)\cdot f(17^2)\\ {}=(1-7)(1-17)\\ {}=(-6)(-16)\\ {}=96. \end{gathered}

Thus, the correct answer is B.

2023 AMC 12A 第 22 题

答案：B

难度评级：2270

小提示：

大提示：

解答：

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