2022 AMC 12B 第 14 题

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14.

抛物线

y = x^2 + 2x - 15

与

x

-轴交于点

A

、

C

，与

y

-轴交于点

B

。求

\tan(\angle ABC)

。

The graph of

y = x^2 + 2x - 15

intersects the

x

-axis at points

A

and

C

and the

y

-axis at point

B.

What is

\tan(\angle ABC)?

\dfrac17

\dfrac14

\dfrac37

\dfrac12

\dfrac47

答案：E

知识点：坐标几何向量三角学

难度评级：1570

小提示：

因式分解以求截距：

A

和

C

在

x

-轴上，

B

在

y

-轴上。

Factor to find the intercepts:

A

and

C

on the

x

-axis,

B

on the

y

-axis

大提示：

对向量

\vec{BA}

和

\vec{BC}

，使用

\tan\theta = \dfrac{|\vec{BA} \times \vec{BC}|}{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}

。

With vectors

\vec{BA}

and

\vec{BC},

use

\tan\theta = \dfrac{|\vec{BA} \times \vec{BC}|}{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}

解答：

因式分解得

x^2 + 2x - 15 = (x+5)(x-3)

，所以

A = (-5, 0)

，

C = (3, 0)

，且

y

-截距为

B = (0, -15)

。

于是

\vec{BA} = (-5, 15)

，

\vec{BC} = (3, 15)

。利用叉积和点积，

\begin{gathered} \tan(\angle ABC) = \scriptsize \dfrac{|(-5)(15) - (15)(3)|}{(-5)(3) + (15)(15)} \\ = \dfrac{120}{210} \\ = \dfrac47 \end{gathered}\text{。}

所以正确答案是 E。

Factoring,

x^2 + 2x - 15 = (x+5)(x-3),

so

A = (-5, 0)

and

C = (3, 0),

and the

y

-intercept is

B = (0, -15).

Then

\vec{BA} = (-5, 15)

and

\vec{BC} = (3, 15).

Using the cross and dot products,

\begin{gathered} \tan(\angle ABC) = \scriptsize \dfrac{|(-5)(15) - (15)(3)|}{(-5)(3) + (15)(15)} \\ = \dfrac{120}{210} \\ = \dfrac47. \end{gathered}

Thus, the correct answer is E.

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