Question

对正整数 $n$ ，令 $R(n)$ 为 $n$ 分别除以 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 、 $5$ 、 $6$ 、 $7$ 、 $8$ 、 $9$ 、 $10$ 时所得余数之和。例如，有多少个两位正整数 $n$ 满足 $\begin{aligned} &R(15) = 1 + 0 + 3 + 0 + 3 \\ &\quad {}+ 1 + 7 + 6 + 5 = 26. \end{aligned}$ $R(n) = R(n + 1)?$

For $n$ a positive integer, let $R(n)$ be the sum of the remainders when $n$ is divided by $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8,$ $9,$ and $10.$ For example, $\begin{aligned} &R(15) = 1 + 0 + 3 + 0 + 3 \\ &\quad {}+ 1 + 7 + 6 + 5 = 26. \end{aligned}$ How many two-digit positive integers $n$ satisfy $R(n) = R(n + 1)?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

答案：C

知识点：模运算整除性

难度评级：2800

解答：

从 $n$ 变为 $n + 1,$ 时，每个余数 $n \bmod m$ 都增加 $1$ ，除非 $m \mid n + 1,$ 此时它从 $m - 1$ 降为 $0.$ 所以 $\begin{aligned} &R(n+1) - R(n) \\ &= 9 - \sum_{\substack{2 \le m \le 10 \\ m \mid n+1}} m. \end{aligned}$

从 $2$ 到 $10$ 的互异整数之和等于 $9$ 的方式只有 $\{9\},\{2,7\},\{3,6\},\{4,5\},$ 或 $\{2,3,4\}.$ 因数的闭包性质排除了除 $\{2,7\}:$ 外的所有情形：例如， $9$ 的倍数也有因数 $3,$ 而 $6$ 的倍数也有因数 $2$ 和 $3.$ 因此 $n+1$ 必须是 $14$ 的倍数，并且在 $\{2,\ldots,10\}.$ 中没有其他因数。

检查所需范围内的倍数 $14,28,42,56,70,84,98$ ，只留下 $14$ 和 $98.$ 所以 $n=13$ 或 $n=97,$ 共有 $2$ 个值。

因此，正确答案是 C。

Going from $n$ to $n + 1,$ each remainder $n \bmod m$ increases by $1$ unless $m \mid n + 1,$ in which case it drops from $m - 1$ to $0.$ So $\begin{aligned} &R(n+1) - R(n) \\ &= 9 - \sum_{\substack{2 \le m \le 10 \\ m \mid n+1}} m. \end{aligned}$

Distinct integers from $2$ through $10$ can sum to $9$ only as $\{9\},\{2,7\},\{3,6\},\{4,5\},$ or $\{2,3,4\}.$ Divisibility closure eliminates every case except $\{2,7\}:$ for example, a multiple of $9$ also has divisor $3,$ and a multiple of $6$ also has divisors $2$ and $3.$ Thus $n+1$ must be a multiple of $14$ with no other divisor in $\{2,\ldots,10\}.$

Testing the multiples $14,28,42,56,70,84,98$ in the required range leaves only $14$ and $98.$ Hence $n=13$ or $n=97,$ giving $2$ values.

Thus, the correct answer is C.

2021 AMC 12B Fall 第 25 题

答案：C

难度评级：2800

解答：

其他年份的第 25 题