Question

三角形 $ABC$ 的边长为 $AB = 11$ 、 $BC = 24$ 、 $CA = 20$ 。 $\angle BAC$ 的角平分线与 $\overline{BC}$ 交于点 $D$ ，并与 $\triangle ABC$ 的外接圆交于 $E \neq A$ 。 $\triangle BED$ 的外接圆与直线 $AB$ 交于点 $B$ 和 $F \neq B$ 。求 $CF$ 。

Triangle $ABC$ has side lengths $AB = 11,$ $BC = 24,$ and $CA = 20.$ The bisector of $\angle BAC$ intersects $\overline{BC}$ in point $D,$ and intersects the circumcircle of $\triangle ABC$ in point $E \neq A.$ The circumcircle of $\triangle BED$ intersects the line $AB$ in points $B$ and $F \neq B.$ What is $CF?$

$28$

$20\sqrt{2}$

$30$

$32$

$20\sqrt{3}$

答案：C

知识点：圆幂角平分线相似

难度评级：2650

解答：

点 $A$ ， $D$ ， $E$ 共线于角平分线上，点 $A$ ， $B$ ， $F$ 共线于直线 $AB$ 。对经过 $B$ ， $E$ ， $D$ 的圆，点 $A$ 的幂给出 $AB \cdot AF = AD \cdot AE$ 。

因为 $\angle BAE = \angle DAC$ 且 $\angle AEB = \angle ACB$ （同弦 $AB$ 所对的角），三角形 $ABE$ 与 $ADC$ 相似，所以 $AD \cdot AE = AB \cdot AC$ 。因此 $AF = AC = 20$ 。

取 $A = (0, 0)$ 、 $B = (11, 0)$ 。由 $CA = 20$ 、 $CB = 24$ ，可得 $C = \left(-\tfrac52, \tfrac{\sqrt{1575}}{2}\right)$ 。点 $F$ 在射线 $AB$ 上，且 $AF = 20$ ，所以 $F = (20, 0)$ 。

因此 $CF^2 = \left(20 + \tfrac52\right)^2 + \tfrac{1575}{4}$ $= \tfrac{2025}{4} + \tfrac{1575}{4}$ $= 900$ ，所以 $CF = 30$ 。

所以正确答案是 C。

Points $A,$ $D,$ $E$ are collinear on the bisector, and $A,$ $B,$ $F$ are collinear on line $AB.$ The power of $A$ with respect to the circle through $B,$ $E,$ $D$ gives $AB \cdot AF = AD \cdot AE.$

Since $\angle BAE = \angle DAC$ and $\angle AEB = \angle ACB$ (subtending $AB$ ), triangles $ABE$ and $ADC$ are similar, so $AD \cdot AE = AB \cdot AC.$ Therefore $AF = AC = 20.$

Place $A = (0, 0),$ $B = (11, 0).$ From $CA = 20,$ $CB = 24,$ point $C = \left(-\tfrac52, \tfrac{\sqrt{1575}}{2}\right).$ Point $F$ lies on ray $AB$ with $AF = 20,$ so $F = (20, 0).$

Then $CF^2 = \left(20 + \tfrac52\right)^2 + \tfrac{1575}{4}$ $= \tfrac{2025}{4} + \tfrac{1575}{4}$ $= 900,$ so $CF = 30.$

Thus, the correct answer is C.

2021 AMC 12B Fall 第 24 题

答案：C

难度评级：2650

解答：

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