2021 AMC 12B Fall 第 24 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

24.

三角形

ABC

的边长为

AB = 11

、

BC = 24

、

CA = 20

。

\angle BAC

的角平分线与

\overline{BC}

交于点

D

，并与

\triangle ABC

的外接圆交于

E \neq A

。

\triangle BED

的外接圆与直线

AB

交于点

B

和

F \neq B

。求

CF

。

Triangle

ABC

has side lengths

AB = 11,

BC = 24,

and

CA = 20.

The bisector of

\angle BAC

intersects

\overline{BC}

in point

D,

and intersects the circumcircle of

\triangle ABC

in point

E \neq A.

The circumcircle of

\triangle BED

intersects the line

AB

in points

B

and

F \neq B.

What is

CF?

28

20\sqrt{2}

30

32

20\sqrt{3}

答案：C

知识点：圆幂角平分线相似

难度评级：2650

小提示：

对经过

B

、

E

、

D

的圆使用点

A

的幂：

AB \cdot AF = AD \cdot AE

。

Apply power of the point

A

to the circle through

B,

E,

D

:

AB \cdot AF = AD \cdot AE

大提示：

因为

\triangle ABE \sim \triangle ADC

，得到

AD \cdot AE = AB \cdot AC

，所以

AF = AC

。

Because

\triangle ABE \sim \triangle ADC,

we get

AD \cdot AE = AB \cdot AC,

so

AF = AC

解答：

点

A

，

D

，

E

共线于角平分线上，点

A

，

B

，

F

共线于直线

AB

。对经过

B

，

E

，

D

的圆，点

A

的幂给出

AB \cdot AF = AD \cdot AE

。

因为

\angle BAE = \angle DAC

且

\angle AEB = \angle ACB

（同弦

AB

所对的角），三角形

ABE

与

ADC

相似，所以

AD \cdot AE = AB \cdot AC

。因此

AF = AC = 20

。

取

A = (0, 0)

、

B = (11, 0)

。由

CA = 20

、

CB = 24

，可得

C = \left(-\tfrac52, \tfrac{\sqrt{1575}}{2}\right)

。点

F

在射线

AB

上，且

AF = 20

，所以

F = (20, 0)

。

因此

CF^2 = \left(20 + \tfrac52\right)^2 + \tfrac{1575}{4}

= \tfrac{2025}{4} + \tfrac{1575}{4}

= 900

，所以

CF = 30

。

所以正确答案是 C。

Points

A,

D,

E

are collinear on the bisector, and

A,

B,

F

are collinear on line

AB.

The power of

A

with respect to the circle through

B,

E,

D

gives

AB \cdot AF = AD \cdot AE.

Since

\angle BAE = \angle DAC

and

\angle AEB = \angle ACB

(subtending

AB

), triangles

ABE

and

ADC

are similar, so

AD \cdot AE = AB \cdot AC.

Therefore

AF = AC = 20.

Place

A = (0, 0),

B = (11, 0).

From

CA = 20,

CB = 24,

point

C = \left(-\tfrac52, \tfrac{\sqrt{1575}}{2}\right).

Point

F

lies on ray

AB

with

AF = 20,

so

F = (20, 0).

Then

CF^2 = \left(20 + \tfrac52\right)^2 + \tfrac{1575}{4}

= \tfrac{2025}{4} + \tfrac{1575}{4}

= 900,

so

CF = 30.

Thus, the correct answer is C.

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