Question

设 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为正整数，满足且所有可能的不同 $a^2 + b^2 + c^2$ 值之和是多少？ $a + b + c = 23$ $\begin{aligned} &\gcd(a, b) + \gcd(b, c) \\ &\quad {}+ \gcd(c, a) = 9. \end{aligned}$

Suppose $a,$ $b,$ $c$ are positive integers such that $a + b + c = 23$ and $\begin{aligned} &\gcd(a, b) + \gcd(b, c) \\ &\quad {}+ \gcd(c, a) = 9. \end{aligned}$ What is the sum of all possible distinct values of $a^2 + b^2 + c^2?$

$259$

$438$

$516$

$625$

$687$

答案：B

知识点：最大公约数奇偶性分类讨论

难度评级：2100

解答：

最大公因数之和为 $a\le b\le c$ ，数值较大，所以这些数有明显的公共因子。 $a\le7$ ， $a$ $a\le b\le\lfloor(23-a)/2\rfloor$ $c=23-a-b$ 。 $\begin{aligned} &\gcd(a,b)+\gcd(b,23-a) \\ &\quad {}+\gcd(a,23-b). \end{aligned}$

检查和为 $a=1,2,\ldots,7$ 的分拆，满足条件的恰有两类。 $\{3,4,13\}$ ， $\{4,6,10\}$ ， $\{3,5,6,8,9,12\}$ ， $\{4,6\}$ ， $\{3,7,8,11\}$ ， $\{4,6,8\}$ ， $\{9,10\}$ 。 $9$ $(a,b,c)=(3,5,15)$ $(7,7,9)$ 。

三元组 $(7, 7, 9)$ 的两个相关 $\gcd$ 值为一，另一个为七，所以总和为 $7 + 1 + 1 = 9$ ，并且 $a^2 + b^2 + c^2 = 49 + 49 + 81$ $= 179$ 。三元组 $(3, 5, 15)$ 的 $\gcd$ 之和为 $1 + 5 + 3 = 9$ ，并且 $a^2 + b^2 + c^2 = 9 + 25$ $+ 225 = 259$ 。

不同值之和为 $179 + 259 = 438$ 。

所以正确答案是 B。

The condition is symmetric, so assume $a\le b\le c.$ Then $a\le7,$ and for each fixed $a$ we have $a\le b\le\lfloor(23-a)/2\rfloor$ and $c=23-a-b.$ The gcd sum can be evaluated as $\begin{aligned} &\gcd(a,b)+\gcd(b,23-a) \\ &\quad {}+\gcd(a,23-b). \end{aligned}$

Checking these short ranges, the possible gcd sums for $a=1,2,\ldots,7$ are, respectively, $\{3,4,13\},$ $\{4,6,10\},$ $\{3,5,6,8,9,12\},$ $\{4,6\},$ $\{3,7,8,11\},$ $\{4,6,8\},$ and $\{9,10\}.$ The value $9$ occurs only at $(a,b,c)=(3,5,15)$ and $(7,7,9).$

The triple $(7, 7, 9)$ has $\gcd$ sum $7 + 1 + 1 = 9$ and $a^2 + b^2 + c^2 = 49 + 49 + 81$ $= 179.$ The triple $(3, 5, 15)$ has $\gcd$ sum $1 + 5 + 3 = 9$ and $a^2 + b^2 + c^2 = 9 + 25$ $+ 225 = 259.$

The sum of the distinct values is $179 + 259 = 438.$

Thus, the correct answer is B.

2021 AMC 12B Fall 第 16 题

答案：B

难度评级：2100

解答：

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