2021 AMC 12A Fall 第 19 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

19.

令

x

为大于

1

的最小实数，使得

\sin(x) = \sin(x^2)

，其中角度单位为度。将

x

向上取整到最接近的整数是多少？

Let

x

be the least real number greater than

1

such that

\sin(x) = \sin(x^2),

where the arguments are in degrees. What is

x

rounded up to the closest integer?

10

13

14

19

20

答案：B

知识点：三角学二次方程

难度评级：2040

小提示：

\sin x = \sin x^2

要求

x^2 = x + 360k

或

x^2 = 180 - x + 360k

，其中

k

为整数

\sin x = \sin x^2

requires

x^2 = x + 360k

or

x^2 = 180 - x + 360k

for an integer

k

大提示：

最小的

x \gt 1

来自

x^2 = 180 - x

（其中

k = 0

）

The smallest

x \gt 1

comes from

x^2 = 180 - x

(with

k = 0

)

解答：

正弦值相等要求对某个整数

k

有

x^2 = x + 360k

或

x^2 = 180 - x + 360k

。

方程族

x^2 = x + 360k

第一次超过

1

出现在

k = 1

，给出

x \approx 19.5

。方程族

x^2 = 180 - x + 360k

在

k = 0

时给出

x^2 + x - 180 = 0

，所以

x = \dfrac{-1 + \sqrt{721}}{2} \approx 12.93

，这更小。

向上取整后，

x = 13

。

所以正确答案是 B。

Equal sines require

x^2 = x + 360k

or

x^2 = 180 - x + 360k

for some integer

k.

The family

x^2 = x + 360k

first exceeds

1

at

k = 1,

giving

x \approx 19.5.

The family

x^2 = 180 - x + 360k

with

k = 0

gives

x^2 + x - 180 = 0,

so

x = \dfrac{-1 + \sqrt{721}}{2} \approx 12.93,

which is smaller.

Rounded up,

x = 13.

Thus, the correct answer is B.

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