2021 AMC 12B Spring 第 16 题

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16.

设

g(x)

是首项系数为

1

的多项式，它的三个根是

f(x)=x^3+ax^2+bx+c

的三个根的倒数，其中

1\lt a\lt b\lt c

。用

a

，

b

和

c

表示

g(1)

是什么？

Let

g(x)

be a polynomial with leading coefficient

1,

whose three roots are the reciprocals of the three roots of

f(x)=x^3+ax^2+bx+c,

where

1\lt a\lt b\lt c.

What is

g(1)

in terms of

a,

b,

and

c?

\dfrac{1+a+b+c}{c}

1+a+b+c

\dfrac{1+a+b+c}{c^2}

\dfrac{a+b+c}{c^2}

\dfrac{1+a+b+c}{a+b+c}

答案：A

知识点：韦达定理多项式

难度评级：1720

小提示：

若

f

的根为

r,s,t

，则

g(1)=\left(1-\tfrac1r\right)\left(1-\tfrac1s\right)\left(1-\tfrac1t\right)

If

f

has roots

r,s,t,

then

g(1)=\left(1-\tfrac1r\right)\left(1-\tfrac1s\right)\left(1-\tfrac1t\right)

大提示：

这等于

\dfrac{(r-1)(s-1)(t-1)}{rst}

；把分子与

f(1)

联系起来，把分母与

c

联系起来

This equals

\dfrac{(r-1)(s-1)(t-1)}{rst};

relate the numerator to

f(1)

and the denominator to

c

解答：

设

f

的根为

r,s,t

。因为

g

是首项系数为一、根为

\tfrac1r,\tfrac1s,\tfrac1t

的多项式，

\begin{aligned} g(1) &= \left(1-\tfrac1r\right)\left(1-\tfrac1s\right) \\ &\quad {}\cdot \left(1-\tfrac1t\right) \\ &= \dfrac{(r-1)(s-1)(t-1)}{rst} \end{aligned}\text{。}

现在

f(1)=(1-r)(1-s)(1-t)

=1+a+b+c

，所以

(r-1)(s-1)(t-1)

=-(1+a+b+c)

。另外

rst=-c

。

因此

g(1)

=\dfrac{-(1+a+b+c)}{-c}

=\dfrac{1+a+b+c}{c}

。

所以正确答案是 A。

Let

f

have roots

r,s,t.

Since

g

is monic with roots

\tfrac1r,\tfrac1s,\tfrac1t,

\begin{aligned} g(1) &= \left(1-\tfrac1r\right)\left(1-\tfrac1s\right) \\ &\quad {}\cdot \left(1-\tfrac1t\right) \\ &= \dfrac{(r-1)(s-1)(t-1)}{rst}. \end{aligned}

Now

f(1)=(1-r)(1-s)(1-t)

=1+a+b+c,

so

(r-1)(s-1)(t-1)

=-(1+a+b+c).

Also

rst=-c.

Therefore

g(1)

=\dfrac{-(1+a+b+c)}{-c}

=\dfrac{1+a+b+c}{c}.

Thus, the correct answer is A.

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