2021 AMC 12A Spring 第 25 题

Question

设

d(n)

表示整除

n

的正整数个数，包括

1

和

n

。例如，

d(1) = 1

，

d(2) = 2

，且

d(12) = 6

。（这个函数称为约数函数。）令

f(n) = \frac{d(n)}{\sqrt[3]{n}}\text{。}

存在唯一的正整数

N

，使得对所有正整数

n \ne N

都有

f(N) \gt f(n)

。求

N

的各位数字之和。

Let

d(n)

denote the number of positive integers that divide

n,

including

1

and

n.

For example,

d(1) = 1,

d(2) = 2,

and

d(12) = 6.

(This function is known as the divisor function.) Let

f(n) = \frac{d(n)}{\sqrt[3]{n}}.

There is a unique positive integer

N

such that

f(N) \gt f(n)

for all positive integers

n \ne N.

What is the sum of the digits of

N?

5

6

7

8

9

答案：E

知识点：因数个数质因数分解最优化

难度评级：2610

小提示：

f

是乘法函数，所以可对每个质数

p

独立最大化

\dfrac{e + 1}{p^{\frac{e}{3}}}

。

f

is multiplicative, so maximize

\dfrac{e + 1}{p^{\frac{e}{3}}}

independently for each prime

p

大提示：

对

p = 2

，最佳指数是

3

；对

p = 3

，最佳指数是

2

；对

p = 5, 7

，最佳指数是

1

；对

p \ge 11

，最佳指数是

0

。

For

p = 2

the best exponent is

3;

for

p = 3

it is

2;

for

p = 5, 7

it is

1;

and for

p \ge 11

it is

0

解答：

因为

f(n) = \dfrac{d(n)}{n^{\frac{1}{3}}}

是乘法函数，它的值可按质数幂分解为各个

p^e\ \|\ n

所对应的项

\dfrac{e + 1}{p^{\frac{e}{3}}}

的乘积。我们分别最大化每一项。

设

g_p(e)=\dfrac{e+1}{p^{\frac{e}{3}}}

，则

\dfrac{g_p(e+1)}{g_p(e)}=\dfrac{e+2}{e+1}p^{-\frac{1}{3}}

。这个比值随

e

递减，所以只要看它第一次小于

1

的位置，就能确定唯一的最大值。由此得到：对

p=2

取

e=3

；对

p=3

取

e=2

；对

p=5,7

取

e=1

；而对每个质数

p\ge11

取

e=0

。

因此

N = 2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7 = 2520

，其数字和为

2 + 5 + 2 + 0 = 9

。

因此，正确答案是 E。

Since

f(n) = \dfrac{d(n)}{n^{\frac{1}{3}}}

is multiplicative, its value factors over prime powers as a product of terms

\dfrac{e + 1}{p^{\frac{e}{3}}}

for each prime power

p^e\ \|\ n.

We maximize each term separately.

If

g_p(e)=\dfrac{e+1}{p^{\frac{e}{3}}},

then

\dfrac{g_p(e+1)}{g_p(e)}=\dfrac{e+2}{e+1}p^{-\frac{1}{3}}.

This ratio decreases with

e,

so checking where it first falls below

1

finds the unique maximum. It gives

e=3

for

p=2,

e=2

for

p=3,

e=1

for

p=5,7,

and

e=0

for every prime

p\ge11.

Hence

N = 2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7 = 2520,

whose digit sum is

2 + 5 + 2 + 0 = 9.

Thus, the correct answer is E.

2021 AMC 12A Spring 第 25 题

答案：E

难度评级：2610

小提示：

大提示：

解答：

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