Question

设 $d(n)$ 表示整除 $n$ 的正整数个数，包括 $1$ 和 $n$ 。例如， $d(1) = 1$ ， $d(2) = 2$ ，且 $d(12) = 6$ 。（这个函数称为约数函数。）令 $f(n) = \frac{d(n)}{\sqrt[3]{n}}.$

存在唯一的正整数 $N$ ，使得对所有正整数 $n \ne N$ 都有 $f(N) \gt f(n)$ 。求 $N$ 的各位数字之和。

Let $d(n)$ denote the number of positive integers that divide $n,$ including $1$ and $n.$ For example, $d(1) = 1,$ $d(2) = 2,$ and $d(12) = 6.$ (This function is known as the divisor function.) Let $f(n) = \frac{d(n)}{\sqrt[3]{n}}.$

There is a unique positive integer $N$ such that $f(N) \gt f(n)$ for all positive integers $n \ne N.$ What is the sum of the digits of $N?$

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

答案：E

知识点：因数个数质因数分解最优化

难度评级：2610

解答：

因为 $f(n) = \dfrac{d(n)}{n^{1/3}}$ 是乘法函数，它的值可按质数幂分解为各个 $p^e\ \|\ n$ 所对应的项 $\dfrac{e + 1}{p^{e/3}}$ 的乘积。我们分别最大化每一项。

对 $g_p(e)=\dfrac{e+1}{p^{e/3}}$ ，比值 $\dfrac{g_p(e+1)}{g_p(e)}=\dfrac{e+2}{e+1}p^{-1/3}$ 在 $e$ 时最大（值为 $e=3$ ）。对 $p=2$ ，最大出现在 $e=2$ ；对 $p=3$ 和 $e=1$ ，最大出现在 $p=5,7$ ；而对每个质数 $e=0$ ，最优选择是 $p\ge11$ （当时比值已经小于 $1$ ）。

因此 $N = 2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7 = 2520$ ，其数字和为 $2 + 5 + 2 + 0 = 9$ 。

因此，正确答案是 E。

Since $f(n) = \dfrac{d(n)}{n^{1/3}}$ is multiplicative, its value factors over prime powers as a product of terms $\dfrac{e + 1}{p^{e/3}}$ for each prime power $p^e\ \|\ n.$ We maximize each term separately.

If $g_p(e)=\dfrac{e+1}{p^{e/3}},$ then $\dfrac{g_p(e+1)}{g_p(e)}=\dfrac{e+2}{e+1}p^{-1/3}.$ This ratio decreases with $e,$ so checking where it first falls below $1$ finds the unique maximum. It gives $e=3$ for $p=2,$ $e=2$ for $p=3,$ $e=1$ for $p=5,7,$ and $e=0$ for every prime $p\ge11.$

Hence $N = 2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7 = 2520,$ whose digit sum is $2 + 5 + 2 + 0 = 9.$

Thus, the correct answer is E.

2021 AMC 12A Spring 第 25 题

答案：E

难度评级：2610

解答：

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