2020 AMC 12B 第 24 题

Question

令

D(n)

表示将正整数

n

写成乘积

n = f_1 \cdot f_2 \cdots f_k

的方法数，其中

k \ge 1

，每个

f_i

都是严格大于

1

的整数，并且因子的排列顺序有区别（也就是说，两个只在因子顺序上不同的表示也算作不同的方法）。例如，数

6

可以写成

6

、

2 \cdot 3

和

3 \cdot 2

，所以

D(6) = 3

。求

D(96)

。

Let

D(n)

denote the number of ways of writing the positive integer

n

as a product

n = f_1 \cdot f_2 \cdots f_k,

where

k \ge 1,

the

f_i

are integers strictly greater than

1,

and the order in which the factors are listed matters (that is, two representations that differ only in the order of the factors are counted as distinct). For example, the number

6

can be written as

6,

2 \cdot 3,

and

3 \cdot 2,

so

D(6) = 3.

What is

D(96)?

112

128

144

172

184

答案：A

知识点：递推计数因数

难度评级：2220

小提示：

使用递推

D(n) = \sum_{d \mid n,\, d \gt 1} D(\frac{n}{d})

并设

D(1) = 1

。

Use the recursion

D(n) = \sum_{d \mid n,\, d \gt 1} D(\frac{n}{d}),

with

D(1) = 1

大提示：

因为

96 = 2^5 \cdot 3

，逐步计算其因子

2

、

3

、

4

、

6

、

8

、

12

、

16

、

24

、

32

、

48

、

96

的

D

值。

Since

96 = 2^5 \cdot 3,

build up

D

on the divisors

2,

3,

4,

6,

8,

12,

16,

24,

32,

48,

96

解答：

第一个因子

f_1

可以是任意因子

d \gt 1

，之后剩余部分是

\frac{n}{d}

的有序分解。因此

D(n) = \sum_{d \mid n,\, d \gt 1} D(\frac{n}{d})

，并设

D(1) = 1

。

在

96 = 2^5\cdot 3

的因子上逐步计算：

D(2) = D(3) = 1

，

D(4) = 2

，

D(6) = 3

，

D(8) = 4

，

D(12) = 8

，

D(16) = 8

，

D(24) = 20

，

D(32) = 16

，

D(48) = 48

。

最后

\begin{gathered} D(96) = D(48) + D(32) \\ {}+ D(24) + D(16) + D(12) \\ {}+ D(8) + D(6) + D(4) \\ {}+ D(3) + D(2) + D(1) \\ = 48 + 16 + 20 + 8 \\ {}+ 8 + 4 + 3 + 2 \\ {}+ 1 + 1 + 1 = 112 \end{gathered}\text{。}

所以正确答案是 A。

The first factor

f_1

can be any divisor

d \gt 1,

after which the rest is an ordered factorization of

\frac{n}{d}.

So

D(n) = \sum_{d \mid n,\, d \gt 1} D(\frac{n}{d}),

with

D(1) = 1.

Computing over the divisors of

96 = 2^5\cdot 3:

D(2) = D(3) = 1,

D(4) = 2,

D(6) = 3,

D(8) = 4,

D(12) = 8,

D(16) = 8,

D(24) = 20,

D(32) = 16,

D(48) = 48.

Finally

\begin{gathered} D(96) = D(48) + D(32) \\ {}+ D(24) + D(16) + D(12) \\ {}+ D(8) + D(6) + D(4) \\ {}+ D(3) + D(2) + D(1) \\ = 48 + 16 + 20 + 8 \\ {}+ 8 + 4 + 3 + 2 \\ {}+ 1 + 1 + 1 = 112. \end{gathered}

Thus, the correct answer is A.

2020 AMC 12B 第 24 题

答案：A

难度评级：2220

小提示：

大提示：

解答：

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