2020 AMC 12A 第 25 题

Question

数

a = \dfrac{p}{q}

，其中

p

和

q

是互质的正整数，具有如下性质：所有满足

\lfloor x \rfloor \cdot \{x\} = a \cdot x^2

的实数

x

的和为

420

，其中

\lfloor x \rfloor

表示不超过

x

的最大整数，

\{x\} = x - \lfloor x \rfloor

表示

x

的小数部分。

p + q

是多少？

The number

a = \dfrac{p}{q},

where

p

and

q

are relatively prime positive integers, has the property that the sum of all real numbers

x

satisfying

\lfloor x \rfloor \cdot \{x\} = a \cdot x^2

is

420,

where

\lfloor x \rfloor

denotes the greatest integer less than or equal to

x

and

\{x\} = x - \lfloor x \rfloor

denotes the fractional part of

x.

What is

p + q?

245

593

929

1331

1332

答案：C

知识点：取整函数二次方程求和

难度评级：2520

小提示：

在

x \in [n, n+1)

上，写

\lfloor x \rfloor = n

且

\{x\} = x - n

将方程化为二次方程

a x^2 - n x + n^2 = 0

。

On

x \in [n, n+1)

write

\lfloor x \rfloor = n

and

\{x\} = x - n,

turning the equation into a quadratic

a x^2 - n x + n^2 = 0

大提示：

把除以

n

之后的两个根参数化为

1+\dfrac1u

和

1+u

；再确定哪些正整数

n

会使某个根落在

[n,n+1)

中

Parameterize the two roots after dividing by

n

as

1+\dfrac1u

and

1+u;

determine which positive integers

n

put a root in

[n,n+1)

解答：

没有负数解，而

x=0

总是一个解。对

n\ge1

且

x\in[n,n+1)

，令

y=\frac{x}{n}

。方程变为

ay^2-y+1=0

。它的根必须为实数，所以

0\lt a\le\tfrac14

。

若两个根为

\alpha\le\beta

，它们的和与积都等于

\frac{1}{a}

，所以

(\alpha-1)(\beta-1)=1

。写成

\alpha=1+\dfrac1u,\qquad \beta=1+u

其中

u\ge1

。此时

a=\dfrac{u}{(u+1)^2}

。根

x=n\alpha

位于

[n,n+1)

中，当且仅当

n\lt u

，而对正整数

n

，

n\beta

永远不在该区间中。

所要求的正总和保证

u\gt1

。令

N

为小于

u

的最大正整数，则

N\lt u\le N+1

。所有解的和为

\dfrac{u+1}{u}\cdot\dfrac{N(N+1)}2=420\text{。}

因为

\dfrac{u+1}{u}

随

u

递减，上述不等式给出

\dfrac{N(N+2)}2\le420\lt\dfrac{(N+1)^2}{2}\text{，}

从而迫使

N=28

。

代入得到

406\cdot\dfrac{u+1}{u}=420

，所以

u=29

。因此

a=\dfrac{29}{30^2}=\dfrac{29}{900}

。确实，正数解是

x=\dfrac{30n}{29}

，其中

1\le n\le28

，它们的和为

420

。所以

p+q=29+900=929

。

所以 C 是正确答案。

There are no negative solutions, while

x=0

is always a solution. For

n\ge1

and

x\in[n,n+1),

put

y=\frac{x}{n}.

The equation becomes

ay^2-y+1=0.

Its roots must be real, so

0\lt a\le\tfrac14.

If the two roots are

\alpha\le\beta,

their sum and product are both

\frac{1}{a},

so

(\alpha-1)(\beta-1)=1.

Write

\alpha=1+\dfrac1u,\qquad \beta=1+u

with

u\ge1.

Then

a=\dfrac{u}{(u+1)^2}.

The root

x=n\alpha

lies in

[n,n+1)

exactly when

n\lt u,

while

n\beta

never lies there for a positive integer

n.

The required positive total ensures

u\gt1.

Let

N

be the largest positive integer less than

u,

so

N\lt u\le N+1.

The sum of all solutions is therefore

\dfrac{u+1}{u}\cdot\dfrac{N(N+1)}2=420.

Because

\dfrac{u+1}{u}

decreases with

u,

these inequalities imply

\dfrac{N(N+2)}2\le420\lt\dfrac{(N+1)^2}{2},

which forces

N=28.

Substitution gives

406\cdot\dfrac{u+1}{u}=420,

so

u=29.

Hence

a=\dfrac{29}{30^2}=\dfrac{29}{900}.

Indeed the positive solutions are

x=\dfrac{30n}{29}

for

1\le n\le28,

and their sum is

420.

Therefore

p+q=29+900=929.

Thus, C is the correct answer.

2020 AMC 12A 第 25 题

答案：C

难度评级：2520

小提示：

大提示：

解答：

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