2019 AMC 12A 第 25 题

Question

设

\triangle A_0 B_0 C_0

是一个三角形，其角度恰为

59.999^\circ

，

60^\circ

，和

60.001^\circ

。对每个正整数

n

，定义

A_n

为从

A_{n-1}

到直线

B_{n-1}C_{n-1}

的高的垂足。同样，定义

B_n

为从

B_{n-1}

到直线

A_{n-1}C_{n-1}

的高的垂足，定义

C_n

为从

C_{n-1}

到直线

A_{n-1}B_{n-1}

的高的垂足。使

\triangle A_n B_n C_n

成为钝角三角形的最小正整数

n

是多少？

Let

\triangle A_0 B_0 C_0

be a triangle whose angle measures are exactly

59.999^\circ,

60^\circ,

and

60.001^\circ.

For each positive integer

n

define

A_n

to be the foot of the altitude from

A_{n-1}

to line

B_{n-1}C_{n-1}.

Likewise, define

B_n

to be the foot of the altitude from

B_{n-1}

to line

A_{n-1}C_{n-1},

and

C_n

to be the foot of the altitude from

C_{n-1}

to line

A_{n-1}B_{n-1}.

What is the least positive integer

n

for which

\triangle A_n B_n C_n

is obtuse?

10

11

13

14

15

答案：E

知识点：高线递推导角

难度评级：2520

小提示：

对锐角三角形，垂足三角形的角为

180^\circ - 2\alpha

。

For an acute triangle, the orthic triangle has angles

180^\circ - 2\alpha

大提示：

追踪相对

60^\circ

的偏差：每一步都把偏差乘以

-2

，当某个偏差超过

30^\circ

时三角形变为钝角

Track the deviation from

60^\circ:

each step multiplies it by

-2,

and the triangle turns obtuse when a deviation exceeds

30^\circ

解答：

对锐角三角形，垂足三角形（高的垂足构成的三角形）的每个角为

180^\circ - 2\alpha

，其中

\alpha

是原三角形的对应角。

把一个角写成

60^\circ + x

，新角就是

60^\circ - 2x

，所以每一步都会把相对

60^\circ

的偏差乘以

-2

。初始偏差为

\pm 0.001^\circ

。

n

步后，偏差大小为

0.001 \cdot 2^n

度。三角形第一次变成钝角时这个值超过

30^\circ

，即

2^n \gt 30000

。因为

2^{14} = 16384

且

2^{15} = 32768

，最小的

n

是

15

。

所以正确答案是 E。

For an acute triangle, the orthic triangle (feet of the altitudes) has angles

180^\circ - 2\alpha

for each original angle

\alpha.

Writing an angle as

60^\circ + x,

the new angle is

60^\circ - 2x,

so each deviation from

60^\circ

is multiplied by

-2.

The initial deviations are

\pm 0.001^\circ.

After

n

steps a deviation has magnitude

0.001 \cdot 2^n

degrees. The triangle first becomes obtuse when this exceeds

30^\circ,

i.e.

2^n \gt 30000.

Since

2^{14} = 16384

and

2^{15} = 32768,

the least such

n

is

15.

Thus, the correct answer is E.

2019 AMC 12A 第 25 题

答案：E

难度评级：2520

小提示：

大提示：

解答：

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