Question

设 $\triangle A_0 B_0 C_0$ 是一个三角形，其角度恰为 $59.999^\circ$ ， $60^\circ$ ，和 $60.001^\circ$ 。对每个正整数 $n$ ，定义 $A_n$ 为从 $A_{n-1}$ 到直线 $B_{n-1}C_{n-1}$ 的高的垂足。同样，定义 $B_n$ 为从 $B_{n-1}$ 到直线 $A_{n-1}C_{n-1}$ 的高的垂足，定义 $C_n$ 为从 $C_{n-1}$ 到直线 $A_{n-1}B_{n-1}$ 的高的垂足。使 $\triangle A_n B_n C_n$ 成为钝角三角形的最小正整数 $n$ 是多少？

Let $\triangle A_0 B_0 C_0$ be a triangle whose angle measures are exactly $59.999^\circ,$ $60^\circ,$ and $60.001^\circ.$ For each positive integer $n$ define $A_n$ to be the foot of the altitude from $A_{n-1}$ to line $B_{n-1}C_{n-1}.$ Likewise, define $B_n$ to be the foot of the altitude from $B_{n-1}$ to line $A_{n-1}C_{n-1},$ and $C_n$ to be the foot of the altitude from $C_{n-1}$ to line $A_{n-1}B_{n-1}.$ What is the least positive integer $n$ for which $\triangle A_n B_n C_n$ is obtuse?

$10$

$11$

$13$

$14$

$15$

答案：E

知识点：高线递推导角

难度评级：2520

解答：

对锐角三角形，垂足三角形（高的垂足构成的三角形）的每个角为 $180^\circ - 2\alpha$ ，其中 $\alpha$ 是原三角形的对应角。

把一个角写成 $60^\circ + x$ ，新角就是 $60^\circ - 2x$ ，所以每一步都会把相对 $60^\circ$ 的偏差乘以 $-2$ 。初始偏差为 $\pm 0.001^\circ$ 。

$n$ 步后，偏差大小为 $0.001 \cdot 2^n$ 度。三角形第一次变成钝角时这个值超过 $30^\circ$ ，即 $2^n \gt 30000$ 。因为 $2^{14} = 16384$ 且 $2^{15} = 32768$ ，最小的 $n$ 是 $15$ 。

所以正确答案是 E。

For an acute triangle, the orthic triangle (feet of the altitudes) has angles $180^\circ - 2\alpha$ for each original angle $\alpha.$

Writing an angle as $60^\circ + x,$ the new angle is $60^\circ - 2x,$ so each deviation from $60^\circ$ is multiplied by $-2.$ The initial deviations are $\pm 0.001^\circ.$

After $n$ steps a deviation has magnitude $0.001 \cdot 2^n$ degrees. The triangle first becomes obtuse when this exceeds $30^\circ,$ i.e. $2^n \gt 30000.$ Since $2^{14} = 16384$ and $2^{15} = 32768,$ the least such $n$ is $15.$

Thus, the correct answer is E.

2019 AMC 12A 第 25 题

答案：E

难度评级：2520

解答：

其他年份的第 25 题