2019 AMC 12A 第 19 题

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19.

在边长均为整数的

\triangle ABC

中，

\begin{aligned} \cos A &= \dfrac{11}{16}, \\ \cos B &= \dfrac{7}{8}, \\ \cos C &= -\dfrac{1}{4} \end{aligned}\text{。}

\triangle ABC

的最小可能周长是多少？

In

\triangle ABC

with integer side lengths,

\begin{aligned} \cos A &= \dfrac{11}{16}, \\ \cos B &= \dfrac{7}{8}, \\ \cos C &= -\dfrac{1}{4}. \end{aligned}

What is the least possible perimeter for

\triangle ABC?

9

12

23

27

44

答案：A

知识点：正弦定理比与比例三角不等式

难度评级：2000

小提示：

由给定的余弦值求

\sin A, \sin B, \sin C

。

Find

\sin A, \sin B, \sin C

from the given cosines

大提示：

由正弦定理，边长成比例

\sin A : \sin B : \sin C = 3 : 2 : 4

。

By the Law of Sines the sides are proportional to

\sin A : \sin B : \sin C = 3 : 2 : 4

解答：

每个正弦值为

\sqrt{1 - \cos^2}

：

\sin A = \dfrac{3\sqrt{15}}{16}

，

\sin B = \dfrac{2\sqrt{15}}{16}

，

\sin C = \dfrac{4\sqrt{15}}{16}

。

由正弦定理，边长比为

3 : 2 : 4

。最小的整数边长为

3, 2, 4

，它们满足三角形不等式。

最小周长为

3 + 2 + 4 = 9

。

所以正确答案是 A。

Each sine is

\sqrt{1 - \cos^2}:

\sin A = \dfrac{3\sqrt{15}}{16},

\sin B = \dfrac{2\sqrt{15}}{16},

\sin C = \dfrac{4\sqrt{15}}{16}.

By the Law of Sines the sides are in ratio

3 : 2 : 4.

The smallest integer sides are

3, 2, 4,

which satisfy the triangle inequality.

The least perimeter is

3 + 2 + 4 = 9.

Thus, the correct answer is A.

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