2019 AMC 12A 第 14 题

Question

对某个复数

c

，多项式

\begin{aligned} P(x) &= (x^2 - 2x + 2) \\ &\quad {}\cdot (x^2 - cx + 4) \\ &\quad {}\cdot (x^2 - 4x + 8) \end{aligned}

恰有

4

个不同的根。

|c|

是多少？

For a certain complex number

c,

the polynomial

\begin{aligned} P(x) &= (x^2 - 2x + 2) \\ &\quad {}\cdot (x^2 - cx + 4) \\ &\quad {}\cdot (x^2 - 4x + 8) \end{aligned}

has exactly

4

distinct roots. What is

|c|?

2

\sqrt{6}

2\sqrt{2}

3

\sqrt{10}

答案：E

知识点：复数多项式韦达定理

难度评级：1690

小提示：

第一和第三个因式给出根

1 \pm i

和

2 \pm 2i

。

The first and third factors give roots

1 \pm i

and

2 \pm 2i

大提示：

要只有

4

个不同根，

x^2 - cx + 4

必须复用其中两个根；它的两根乘积为

4

。

For only

4

distinct roots,

x^2 - cx + 4

must reuse two of these; its roots multiply to

4

解答：

因式

x^2 - 2x + 2

和

x^2 - 4x + 8

的根分别为

1 \pm i

和

2 \pm 2i

，这

4

个值互不相同。

要使

P

恰有

4

个不同根，

x^2 - cx + 4

的根必须在这些根中。它们的乘积必须等于

4

，唯一可行的配对是从两个因式各取一个根，例如

(1 + i)(2 - 2i) = 4

。

此时

c = (1 + i) + (2 - 2i) = 3 - i

，所以

|c| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}

。

所以正确答案是 E。

The factors

x^2 - 2x + 2

and

x^2 - 4x + 8

have roots

1 \pm i

and

2 \pm 2i,

which are

4

distinct values.

For

P

to have exactly

4

distinct roots, the roots of

x^2 - cx + 4

must lie among these. Their product must equal

4,

and the only such pair is one root from each factor, for example

(1 + i)(2 - 2i) = 4.

Then

c = (1 + i) + (2 - 2i) = 3 - i,

so

|c| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}.

Thus, the correct answer is E.

2019 AMC 12A 第 14 题

答案：E

难度评级：1690

小提示：

大提示：

解答：

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