2018 AMC 12B 第 9 题

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9.

求

\sum_{i=1}^{100}\sum_{j=1}^{100}(i+j)\text{？}

What is

\sum_{i=1}^{100}\sum_{j=1}^{100}(i+j)?

100{,}100

500{,}500

505{,}000

1{,}001{,}000

1{,}010{,}000

答案：E

知识点：求和等差数列

难度评级：1620

小提示：

将和拆成

\sum\sum i+\sum\sum j

。

Split the sum into

\sum\sum i+\sum\sum j

大提示：

前

100

个正整数之和为

5050

。

The sum of the first

100

positive integers is

5050

解答：

拆开求和：

\begin{gathered} \sum_{i=1}^{100}\sum_{j=1}^{100}(i+j) \\ =\sum_{i=1}^{100}\sum_{j=1}^{100}i \\ {}+\sum_{i=1}^{100}\sum_{j=1}^{100}j \\ =100\sum_{i=1}^{100}i \\ {}+100\sum_{j=1}^{100}j \end{gathered}\text{。}

因为

\sum_{k=1}^{100}k=5050

，结果为

100\cdot5050

+100\cdot5050

=1{,}010{,}000

。

所以正确答案是 E。

Splitting the sum,

\begin{gathered} \sum_{i=1}^{100}\sum_{j=1}^{100}(i+j) \\ =\sum_{i=1}^{100}\sum_{j=1}^{100}i \\ {}+\sum_{i=1}^{100}\sum_{j=1}^{100}j \\ =100\sum_{i=1}^{100}i \\ {}+100\sum_{j=1}^{100}j. \end{gathered}

Since

\sum_{k=1}^{100}k=5050,

this equals

100\cdot5050

+100\cdot5050

=1{,}010{,}000.

Thus, the correct answer is E.

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