Question

一个边长为 $x$ 的正方形内接于边长为 $3$ ， $4$ ， $5$ 的直角三角形中，使得正方形的一个顶点与三角形的直角顶点重合。另一个边长为 $y$ 的正方形内接于另一个边长为 $3$ ， $4$ ， $5$ 的直角三角形中，使得正方形的一条边落在三角形的斜边上。 $\dfrac{x}{y}$ 是多少？

A square with side length $x$ is inscribed in a right triangle with sides of length $3,$ $4,$ and $5$ so that one vertex of the square coincides with the right-angle vertex of the triangle. A square with side length $y$ is inscribed in another right triangle with sides of length $3,$ $4,$ and $5$ so that one side of the square lies on the hypotenuse of the triangle. What is $\dfrac{x}{y}?$

$\dfrac{12}{13}$

$\dfrac{35}{37}$

$1$

$\dfrac{37}{35}$

$\dfrac{13}{12}$

答案：D

知识点：相似直角三角形

难度评级：2040

解答：

对第一个正方形，它截出的两个小三角形与整个三角形相似，得到 $\dfrac{x}{3-x}=\dfrac{4-x}{x}$ ，所以 $x=\dfrac{12}{7}$ 。（等价地，直角处内接正方形的边长为 $\dfrac{3\cdot4}{3+4}$ 。）

对第二个正方形，以长度为 $5$ 的斜边作底；到斜边的高为 $h=\dfrac{3\cdot4}{5}=\dfrac{12}{5}$ 。若正方形一边在底边 $b$ 上，高为 $h$ ，则正方形边长为 $\dfrac{bh}{b+h}$ ，所以 $y=\dfrac{5\cdot\tfrac{12}{5}}{5+\tfrac{12}{5}}=\dfrac{12}{\tfrac{37}{5}}=\dfrac{60}{37}.$

因此 $\dfrac{x}{y}=\dfrac{12}{7}\cdot\dfrac{37}{60}=\dfrac{37}{35}$ 。

所以正确答案是 D。

For the first square, the two smaller triangles it cuts off are similar to the whole triangle, giving $\dfrac{x}{3-x}=\dfrac{4-x}{x},$ so $x=\dfrac{12}{7}.$ (Equivalently, a square in the right angle has side $\dfrac{3\cdot4}{3+4}.$ )

For the second square, take the hypotenuse of length $5$ as base; the altitude to it is $h=\dfrac{3\cdot4}{5}=\dfrac{12}{5}.$ A square with a side on a base $b$ and height $h$ has side $\dfrac{bh}{b+h},$ so $y=\dfrac{5\cdot\tfrac{12}{5}}{5+\tfrac{12}{5}}=\dfrac{12}{\tfrac{37}{5}}=\dfrac{60}{37}.$

Therefore $\dfrac{x}{y}=\dfrac{12}{7}\cdot\dfrac{37}{60}=\dfrac{37}{35}.$

Thus, the correct answer is D.

2017 AMC 12A 第 19 题

答案：D

难度评级：2040

解答：

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