2017 AMC 12A 第 19 题

Question

一个边长为

x

的正方形内接于边长为

3

，

4

，

5

的直角三角形中，使得正方形的一个顶点与三角形的直角顶点重合。另一个边长为

y

的正方形内接于另一个边长为

3

，

4

，

5

的直角三角形中，使得正方形的一条边落在三角形的斜边上。

\dfrac{x}{y}

是多少？

A square with side length

x

is inscribed in a right triangle with sides of length

3,

4,

and

5

so that one vertex of the square coincides with the right-angle vertex of the triangle. A square with side length

y

is inscribed in another right triangle with sides of length

3,

4,

and

5

so that one side of the square lies on the hypotenuse of the triangle. What is

\dfrac{x}{y}?

\dfrac{12}{13}

\dfrac{35}{37}

1

\dfrac{37}{35}

\dfrac{13}{12}

答案：D

知识点：相似直角三角形

难度评级：2040

小提示：

顶点在直角处的正方形边长为

x=\dfrac{3\cdot4}{3+4}

。

A square with its corner at the right angle has side

x=\dfrac{3\cdot4}{3+4}

大提示：

若正方形一边在长度为

b

的底边上，而到底边的高为

h

，则正方形边长为

\dfrac{bh}{b+h}

；用斜边作底

A square with a side on a base of length

b

and height

h

to that base has side

\dfrac{bh}{b+h};

use the hypotenuse as the base

解答：

对第一个正方形，它截出的两个小三角形与整个三角形相似，得到

\dfrac{x}{3-x}=\dfrac{4-x}{x}

，所以

x=\dfrac{12}{7}

。（等价地，直角处内接正方形的边长为

\dfrac{3\cdot4}{3+4}

。）

对第二个正方形，以长度为

5

的斜边作底；到斜边的高为

h=\dfrac{3\cdot4}{5}=\dfrac{12}{5}

。若正方形一边在底边

b

上，高为

h

，则正方形边长为

\dfrac{bh}{b+h}

，所以

y=\dfrac{5\cdot\tfrac{12}{5}}{5+\tfrac{12}{5}}=\dfrac{12}{\tfrac{37}{5}}=\dfrac{60}{37}\text{。}

因此

\dfrac{x}{y}=\dfrac{12}{7}\cdot\dfrac{37}{60}=\dfrac{37}{35}

。

所以正确答案是 D。

For the first square, the two smaller triangles it cuts off are similar to the whole triangle, giving

\dfrac{x}{3-x}=\dfrac{4-x}{x},

so

x=\dfrac{12}{7}.

(Equivalently, a square in the right angle has side

\dfrac{3\cdot4}{3+4}.

)

For the second square, take the hypotenuse of length

5

as base; the altitude to it is

h=\dfrac{3\cdot4}{5}=\dfrac{12}{5}.

A square with a side on a base

b

and height

h

has side

\dfrac{bh}{b+h},

so

y=\dfrac{5\cdot\tfrac{12}{5}}{5+\tfrac{12}{5}}=\dfrac{12}{\tfrac{37}{5}}=\dfrac{60}{37}.

Therefore

\dfrac{x}{y}=\dfrac{12}{7}\cdot\dfrac{37}{60}=\dfrac{37}{35}.

Thus, the correct answer is D.

2017 AMC 12A 第 19 题

答案：D

难度评级：2040

小提示：

大提示：

解答：

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