2016 AMC 12A 第 24 题

Question

存在一个最小正实数

a

，使得存在正实数

b

，并且多项式

x^3-ax^2+bx-a

的所有根都是实数。事实上，对这个

a

值，

b

是唯一的。这个

b

的值是多少？

There is a smallest positive real number

a

such that there exists a positive real number

b

such that all the roots of the polynomial

x^3-ax^2+bx-a

are real. In fact, for this value of

a

the value of

b

is unique. What is this value of

b?

8

9

10

11

12

答案：B

知识点：韦达定理算术-几何平均不等式

难度评级：2380

小提示：

若根为

r,s,t

，则

r+s+t=a

且

rst=a

。

If the roots are

r,s,t,

then

r+s+t=a

and

rst=a

大提示：

对

r,s,t

使用算术平均数与几何平均数不等式；最小的

a

迫使

r=s=t

。

Apply AM-GM to

r,s,t;

the minimum

a

forces

r=s=t

解答：

由韦达定理，实根

r,s,t

满足

r+s+t=a

，

rs+st+tr=b

，且

rst=a

，所以

r+s+t=rst

。

乘积为正，说明三个根全为正，或有两个根为负。在后一种情形中，将根写成

-u,-v,w

，其中

u,v,w\gt0

。和为正迫使

w\gt u+v

，于是

b=uv-w(u+v)\lt0

，矛盾。因此三个根都为正。

由算术平均数与几何平均数不等式，

27rst\le(r+s+t)^3=(rst)^3

，所以

a=rst\ge 3\sqrt3

，等号成立当且仅当

r=s=t=\sqrt3

。在这个最小的

a

下，

\begin{gathered} b=rs+st+tr\\ =3r^2=3\cdot 3=9 \end{gathered}\text{。}

因此，正确答案是 B。

By Vieta’s formulas, the real roots

r,s,t

satisfy

r+s+t=a,

rs+st+tr=b,

and

rst=a,

so

r+s+t=rst.

The positive product means either all three roots are positive or two are negative. In the latter case write the roots as

-u,-v,w

with

u,v,w\gt0.

The positive sum forces

w\gt u+v,

and then

b=uv-w(u+v)\lt0,

a contradiction. Hence all three roots are positive.

By the AM-GM inequality,

27rst\le(r+s+t)^3=(rst)^3,

so

a=rst\ge 3\sqrt3,

with equality if and only if

r=s=t=\sqrt3.

At this smallest

a,

\begin{gathered} b=rs+st+tr\\ =3r^2=3\cdot 3=9. \end{gathered}

Thus, the correct answer is B.

2016 AMC 12A 第 24 题

答案：B

难度评级：2380

小提示：

大提示：

解答：

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