2015 AMC 12A 第 19 题

Question

对某些正整数

p

，存在一个四边形

ABCD

，它的边长都是正整数，周长为

p

，在

B

和

C

处为直角，且

AB = 2

、

CD = AD

。满足

p \lt 2015

的不同周长有多少个？

For some positive integers

p,

there is a quadrilateral

ABCD

with positive integer side lengths, perimeter

p,

right angles at

B

and

C,

AB = 2,

and

CD = AD.

How many different values of

p \lt 2015

are possible?

30

31

61

62

63

答案：B

知识点：勾股定理区间内整数计数

难度评级：2010

小提示：

从

A

向

\overline{CD}

作垂线；结合

B,C

处的直角，会形成一个长方形

Drop a perpendicular from

A

to

\overline{CD};

with right angles at

B,C,

that creates a rectangle

大提示：

若

AE = x

且

DE = y

则

x^2 + y^2 = (2+y)^2

，这会迫使

x

为偶数

If

AE = x

and

DE = y

then

x^2 + y^2 = (2+y)^2,

which forces

x

to be even

解答：

在每个这样的四边形中，

CD \ge AB

。设

E

为从

A

向

\overline{CD}

所作垂线的垂足，则

CE = 2

且

AE = BC

。令

x = AE

、

y = DE

，所以

AD = 2 + y

。

根据勾股定理，

x^2 + y^2 = (2+y)^2

，所以

x^2 = 4 + 4y

，且

x

为偶数。写作

x = 2z

得

y = z^2 - 1

，周长为

x + 2y + 6 = 2z^2 + 2z + 4\text{。}

递增的

z = 1, 2, 3, \dots

给出满足条件且周长递增的四边形。当

z = 31

时周长为

1988

，当

z = 32

时为

2116

。因此

p \lt 2015

的可能值有

31

个。

因此，正确答案是 B。

In every such quadrilateral

CD \ge AB.

Let

E

be the foot of the perpendicular from

A

to

\overline{CD};

then

CE = 2

and

AE = BC.

Let

x = AE

and

y = DE,

so

AD = 2 + y.

By the Pythagorean Theorem

x^2 + y^2 = (2+y)^2,

so

x^2 = 4 + 4y

and

x

is even. Writing

x = 2z

gives

y = z^2 - 1,

and the perimeter is

x + 2y + 6 = 2z^2 + 2z + 4.

Increasing values

z = 1, 2, 3, \dots

give the required quadrilaterals with increasing perimeter. For

z = 31

the perimeter is

1988,

and for

z = 32

it is

2116.

Therefore there are

31

possible values of

p \lt 2015.

Thus, the correct answer is B.

2015 AMC 12A 第 19 题

答案：B

难度评级：2010

小提示：

大提示：

解答：

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