2013 AMC 12A 第 19 题

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19.

在

\triangle ABC

中，

AB = 86

，且

AC = 97

。以

A

为圆心、

AB

为半径的圆与

\overline{BC}

交于点

B

和

X

。此外，

\overline{BX}

和

\overline{CX}

的长度都是整数。

BC

是多少？

In

\triangle ABC,

AB = 86,

and

AC = 97.

A circle with center

A

and radius

AB

intersects

\overline{BC}

at points

B

and

X.

Moreover

\overline{BX}

and

\overline{CX}

have integer lengths. What is

BC?

11

28

33

61

72

答案：D

知识点：圆幂质因数分解

难度评级：2200

小提示：

从点

C

使用点的幂，得到

BC\cdot CX = AC^2 - AB^2

。

Power of a Point from

C

gives

BC\cdot CX = AC^2 - AB^2

大提示：

AC^2 - AB^2 = 2013 = 3\cdot 11\cdot 61

；在

CX \lt BC \lt AB + AC = 183

下分解因数

AC^2 - AB^2 = 2013 = 3\cdot 11\cdot 61;

factor with

CX \lt BC \lt AB + AC = 183

解答：

由点的幂定理，

BC\cdot CX = AC^2 - AB^2

，其中

AB

是圆的半径。因此

BC\cdot CX = 97^2 - 86^2 = 2013

。

因为

BC = BX + CX

且

CX

都是整数，它们是

2013 = 3\cdot 11\cdot 61

的一对互补因数。由于

CX \lt BC \lt AB + AC = 183

，唯一可能是

CX = 33

且

BC = 61

。

因此，正确答案是 D。

By the Power of a Point Theorem,

BC\cdot CX = AC^2 - AB^2

where

AB

is the radius. Thus

BC\cdot CX = 97^2 - 86^2 = 2013.

Since

BC = BX + CX

and

CX

are integers, they are complementary factors of

2013 = 3\cdot 11\cdot 61.

As

CX \lt BC \lt AB + AC = 183,

the only possibility is

CX = 33

and

BC = 61.

Thus, the correct answer is D.

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