Question

设 $S = \{(x, y) : x \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ， $y \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ ，且 $(x, y) \ne (0, 0)\}$ 。设 $T$ 为所有顶点在 $S$ 中的直角三角形的集合。对每个直角三角形 $t = \triangle ABC$ ，其顶点 $A$ ， $B$ ， $C$ 按逆时针顺序排列，且直角在 $A$ ，令 $f(t) = \tan(\angle CBA)$ 。求 $\prod_{t \in T} f(t)?$

Let $S = \{(x, y) : x \in \{0, 1, 2, 3, 4\},$ $y \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\},$ and $(x, y) \ne (0, 0)\}.$ Let $T$ be the set of all right triangles whose vertices are in $S.$ For every right triangle $t = \triangle ABC$ with vertices $A,$ $B,$ and $C$ in counter-clockwise order and right angle at $A,$ let $f(t) = \tan(\angle CBA).$ What is $\prod_{t \in T} f(t)?$

$1$

$\dfrac{625}{144}$

$\dfrac{125}{24}$

$6$

$\dfrac{625}{24}$

答案：B

知识点：三角学裂项相消对称性

难度评级：2650

解答：

等腰直角三角形贡献 $f(t)=1$ 。对于斜边不等的直角三角形，关于合适的直线反射可把它与三角形 $t_1$ 配对，使得 $f(t)f(t_1)$ $=\tan(\angle CBA)\tan(\angle ACB)$ $=1$ 。

连续反射（关于 $x=2$ ，再关于 $x=y$ ，再关于 $y=\tfrac52$ ）把乘积化简为仅六个形如 $OYZ$ 且 $Y$ 在最上排的三角形对应乘积的倒数。

这六个三角形给出因此所求乘积是其倒数 $\dfrac{625}{144}$ 。 $\begin{aligned} &\frac15\cdot\frac25\cdot\frac35\cdot\frac45\cdot\frac{3\sqrt2}{\sqrt2} \\ &\quad {}\cdot\frac{4\sqrt2}{2\sqrt2}=\frac{144}{625}, \end{aligned}$

因此正确答案是 B。

Isosceles right triangles contribute $f(t)=1.$ For a scalene right triangle, reflecting across a suitable line pairs it with a triangle $t_1$ so that $f(t)f(t_1)$ $=\tan(\angle CBA)\tan(\angle ACB)$ $=1.$

Successive reflections (across $x=2,$ then $x=y,$ then $y=\tfrac52$ ) reduce the product to the reciprocal of the product over just six triangles of the form $OYZ$ with $Y$ on the top row.

Those six give $\begin{aligned} &\frac15\cdot\frac25\cdot\frac35\cdot\frac45\cdot\frac{3\sqrt2}{\sqrt2} \\ &\quad {}\cdot\frac{4\sqrt2}{2\sqrt2}=\frac{144}{625}, \end{aligned}$ so the required product is its reciprocal, $\dfrac{625}{144}.$

Thus, the correct answer is B.

2012 AMC 12B 第 25 题

答案：B

难度评级：2650

解答：

其他年份的第 25 题